Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que:
A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: achar todos os autovalores de A e, para cada autovalor, achar o autoespaço correspondente (isto é, o conjunto de autovetores não nulos associados a esse autovalor). A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -3 \\[4pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos ao início:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • A segunda coluna de A é toda zero (elementos 0 nas posições (1,2),(2,2),(3,2)).
  • Precisamos encontrar os autovalores \lambda (raízes do polinômio característico) e, para cada \lambda, o autoespaço \ker(A-\lambda I).]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 0 & 1 \\[4pt] 3 & -\lambda & -3 \\[4pt] 1 & 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Repare que a segunda coluna tem dois zeros e um -\lambda. É conveniente expandir o determinante pela segunda coluna (menor trabalho). Expandindo pela coluna 2 obtemos
\det(A-\lambda I)=(-1)^{2+2}(-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)\big((-1-\lambda)^2-1\big).
Agora simplifico a expressão dentro do parêntese:
(-1-\lambda)^2-1=(\lambda+1)^2-1=\lambda^2+2\lambda.
Portanto
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(\lambda^2+2\lambda)=-\lambda^2(\lambda+2).
As raízes desse polinômio são os autovalores.]

Passo 3

Identifico os autovalores a partir do polinômio -\lambda^2(\lambda+2):
  • \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
  • \lambda=-2 com multiplicidade algébrica 1.
Agora vamos encontrar os autoespaços (nulidades de A-\lambda I) para cada autovalor.

Passo 4

Autoespaço para \lambda=0\). Devemos resolver \[A\mathbf{x}=\mathbf{0}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear:
\begin{cases} - x + z = 0,\\[4pt] 3x - 3z = 0,\\[4pt] x - z = 0. \end{cases}
As três equações reduzem-se à única condição z=x\] (as outras são redundantes). Além disso, a variável \(y não aparece em nenhuma equação (por causa da segunda coluna nula), logo y é livre. Posso tomar parâmetros s para x e t para y:
x=s,\qquad y=t,\qquad z=s.
Assim
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo o autoespaço associado a \lambda=0 é
\ker(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\},
de dimensão 2 (o que bate com a multiplicidade algébrica 2).]

Passo 5

Autoespaço para \lambda=-2\). Devemos resolver \[(A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Calculo A+2I:
A+2I=\begin{pmatrix}-1+2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0+2 & -3 \\[4pt] 1 & 0 & -1+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 2 & -3 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema (A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}:
\begin{cases} x + z = 0,\\[4pt] 3x + 2y - 3z = 0,\\[4pt] x + z = 0. \end{cases}
A primeira e a terceira são iguais: dão z=-x\]. Substituindo \(z=-x na segunda:
3x + 2y -3(-x)=3x + 2y +3x =6x + 2y =0.
Dividindo por 2: 3x + y = 0, então y=-3x. Tomando parâmetro s para x, obtemos
x=s,\qquad y=-3s,\qquad z=-s.
Logo
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O autoespaço associado a \lambda=-2 é
\ker(A+2I)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\},
de dimensão 1.]

Passo 6

Verificação rápida (checar consistência): para \mathbf{v}=(1,-3,-1)^T,
A\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -3 \\[4pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot1+0\cdot(-3)+1\cdot(-1)\\[4pt] 3\cdot1+0\cdot(-3)-3\cdot(-1)\\[4pt]1\cdot1+0\cdot(-3)-1\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt] -6\\[4pt]-2\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{pmatrix},
confirmando que \lambda=-2 e o vetor são consistentes. Para os vetores de \ker(A) tem-se A(1,0,1)^T=\mathbf{0} e A(0,1,0)^T=\mathbf{0} por inspeção, confirmando \lambda=0.]

Resposta

\lambda=0 (multiplicidade algébrica 2); autoespaço \ker(A)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
\lambda=-2 (multiplicidade algébrica 1); autoespaço \ker(A+2I)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.]

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