Achar todos os autovalores da matriz A e seus respectivos autoespaços, em que: A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede: achar todos os autovalores de A e, para cada autovalor, achar o autoespaço correspondente (isto é, o conjunto de autovetores não nulos associados a esse autovalor). A matriz dada é
Repare que a segunda coluna tem dois zeros e um -\lambda. É conveniente expandir o determinante pela segunda coluna (menor trabalho). Expandindo pela coluna 2 obtemos
Identifico os autovalores a partir do polinômio -\lambda^2(\lambda+2):
\lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
\lambda=-2 com multiplicidade algébrica 1.
Agora vamos encontrar os autoespaços (nulidades de A-\lambda I) para cada autovalor.
Passo 4
Autoespaço para \lambda=0\). Devemos resolver
\[A\mathbf{x}=\mathbf{0}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear:
\begin{cases} - x + z = 0,\\[4pt] 3x - 3z = 0,\\[4pt] x - z = 0. \end{cases}
As três equações reduzem-se à única condição z=x\] (as outras são redundantes). Além disso, a variável \(y não aparece em nenhuma equação (por causa da segunda coluna nula), logo y é livre. Posso tomar parâmetros s para x e t para y:
confirmando que \lambda=-2 e o vetor são consistentes. Para os vetores de \ker(A) tem-se A(1,0,1)^T=\mathbf{0} e A(0,1,0)^T=\mathbf{0} por inspeção, confirmando \lambda=0.]