Ache a área exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações em coordenadas polares:
e
Queremos achar a área que está fora do gráfico da primeira equação e dentro do gráfico da segunda. Para resolver isso, vamos precisar desenhar os gráficos dessas funções, encontrar os pontos de interseção e calcular a área entre eles usando integrais.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Agora, encontramos os valores de
que satisfazem essa equação. Sabemos que ocorre em dois pontos no intervalo de
a
: e .
Passo 3
Com os pontos de interseção definidos, vamos determinar quais curvas estão acima ou abaixo no intervalo determinado. Observando as equações:
Para , será maior que . Portanto, a área que queremos calcular está entre essas duas curvas onde está acima de .
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas. A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas
e
de
a
é:
Substituindo e , e os limites de integração encontrados no Passo 2, configuramos a integral para calcular a área desejada.
Resposta
A área procurada é dada por:
Após resolver a integral, encontramos o valor da área desejada.