Ache a área da região limitada pelas três curvas
,
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da região que é limitada pelas três curvas:
,
e
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e depois usar um pouco de cálculo para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Isso ajuda a entender os limites da região que queremos calcular. Vamos resolver as equações duas a duas para achar esses pontos.
Passo 3
Vamos encontrar onde
e
se encontram. Substituímos
de uma equação na outra:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo
:
Então,
ou
. Como estamos no domínio dos números reais,
.
Agora, encontramos os pontos de interseção:
-
: Ponto: -
: Ponto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
.
Substituímos
na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Correspondente a
:
-
: Ponto: -
: Ponto:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a interseção entre
e
.
Substituímos
na segunda equação:
Testando valores, descobrimos que
é uma solução:
Então,
, e
. Ponto:
Passo 6
Agora que temos todos os pontos de interseção:
,
e
, vamos visualizar qual região está sendo delimitada por essas curvas. Observando os pontos, vemos que a região real que interessa está entre
,
e
.
Passo 7
Para encontrar a área dessa região, vamos dividir a área em duas partes:
- Entre
e , bounded por e . - Entre
e , bounded por e .
Vamos calcular cada parte separadamente e depois somar.
Passo 8
Primeira parte:
Aqui, a curva superior é
e a inferior é
.
A área
é dada por:
Passo 9
Vamos calcular
:
Passo 10
Segunda parte:
Aqui, a curva superior é
e a inferior é
.
A área
é dada por:
Passo 11
Vamos calcular
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Primeiro,
Como estamos interessados somente na diferença, vamos simplificar para obter a área.
Passo 12
Após os cálculos, somamos as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
,
e
é
unidades de área.