Ache a área da região limitada pelas três curvas y = x^2, x = y^3, e x + y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da região que é limitada pelas três curvas: , e . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e depois usar um pouco de cálculo para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Isso ajuda a entender os limites da região que queremos calcular. Vamos resolver as equações duas a duas para achar esses pontos.

Passo 3

Vamos encontrar onde e se encontram. Substituímos de uma equação na outra:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo :
Então, ou . Como estamos no domínio dos números reais, .
Agora, encontramos os pontos de interseção:
  1. :
    Ponto:
  2. :
    Ponto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Substituímos na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Correspondente a :
  1. :
    Ponto:
  2. :
    Ponto:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção entre e .
Substituímos na segunda equação:
Testando valores, descobrimos que é uma solução:
Então, , e . Ponto:

Passo 6

Agora que temos todos os pontos de interseção: , e , vamos visualizar qual região está sendo delimitada por essas curvas. Observando os pontos, vemos que a região real que interessa está entre , e .

Passo 7

Para encontrar a área dessa região, vamos dividir a área em duas partes:
  1. Entre e , bounded por e .
  2. Entre e , bounded por e .
Vamos calcular cada parte separadamente e depois somar.

Passo 8

Primeira parte:
Aqui, a curva superior é e a inferior é .
A área é dada por:

Passo 9

Vamos calcular :

Passo 10

Segunda parte:
Aqui, a curva superior é e a inferior é .
A área é dada por:

Passo 11

Vamos calcular :
Calculando em :
Calculando em :
Primeiro,
Como estamos interessados somente na diferença, vamos simplificar para obter a área.

Passo 12

Após os cálculos, somamos as duas áreas:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e é unidades de área.

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