Ache os autovalores, os autovetores e os autoespaços associados a cada vetor correspondentes as seguintes matrizes matrizes. Quando for possível, forme a base de autovetores alpha e obtenha a matriz semelhante a original que seja diagonal [A]alpha^alpha. A=[ll1 & 2 3 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores, autovetores e os autoespaços de uma matriz. A gente vai usar alguns conceitos como determinantes e sistemas de equações para isso. No final, se der certo, também vamos formar uma base de autovetores e encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante à original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz 1 & 2 3 & 4. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 1 - lambda & 2 3 & 4 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (2)(3)
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
= (1 cdot 4) - (1 cdot lambda) - (4 cdot lambda) + (lambda^2) - 6
= 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 - 6
= lambda^2 - 5lambda - 2

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 5lambda - 2 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de lambda = 5 pm raiz25 + 82 = 5 pm raiz332 :
lambda1 = 5 + raiz332, lambda2 = 5 - raiz332
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada A - lambda1 I = 1 - lambda1 & 2 3 & 4 - lambda1 . Para isso, resolvemos , onde é o autovetor.
Vamos começar com :
Isso resulta em um sistema de equações linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 6

Devido à simetria do sistema, basta resolver uma das equações para encontrar a relação entre (1 - lambda1)v1 + 2 cdot 1 = 0 Rightarrow v1 = 2lambda1 - 1 e v1 = 25 + raiz332 - 1 = 23 + raiz332 = 43 + raiz33 do autovetor v1 = 43 + raiz33 1 . Supondo que , podemos encontrar :
Substituindo :
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 7

Repetindo o processo para v1 = 2lambda2 - 1 = 25 - raiz332 - 1 = 23 - raiz332 = 43 - raiz33 , encontramos o autovetor v2 = 43 - raiz33 1 :
Então, o autovetor é:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos formar os autoespaços correspondentes. Cada autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos escalares do autovetor associado.
Para Elambda1 = span 43 + raiz33 1 :
Elambda2 = span 43 - raiz33 1
Para :

Passo 9

Por fim, vamos ver se conseguimos formar uma base de autovetores [A]alpha^alpha = lambda1 & 0 0 & lambda2 = 5 + raiz332 & 0 0 & 5 - raiz332 . Como temos dois autovetores linearmente independentes, podemos formar essa base. Então, a matriz diagonal semelhante �� original será:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 43 + raiz33 1, v2 = 43 - raiz33 1 são Elambda1 = span v1 , Elambda2 = span v2 e [A]alpha^alpha = 5 + raiz332 & 0 0 & 5 - raiz332 .
Os autovetores correspondentes são:
Os autoespaços são:
E a matriz semelhante e diagonal é:

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