Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que se busca:
-
é um parâmetro (assumir ). - A variável que tende a zero é
. - Quer-se o valor numérico (em termos de
) desse limite quando .
Passo 2
Plano de ataque (curto e prático): é natural usar a expansão do binómio
— é uma técnica direta, elementar e que cancela o termo
no numerador, deixando fatores de
que podemos dividir e depois fazer
. Vou lembrar e aplicar o Teorema do Binómio.
Passo 3
Lembrete do Teorema do Binómio para potência 4: para quaisquer
e
,
Aqui os coeficientes binomiais são
Portanto, explicitamente,
Passo 4
Substituindo essa expansão no numerador e simplificando:
Passo 5
Agora divide-se pelo
(presumindo
, o que é válido enquanto tomamos o quociente para depois fazer o limite):
Passo 6
Fazer o limite quando
. Usando que limites são linearmente compatíveis com soma e que
para
, resulta
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 7
Observação adicional (conexão conceitual): esse limite é exatamente a definição do derivado de
no ponto
:
Aplicando a regra do expoente (power rule) obteríamos também
. A expansão que fiz é a maneira “bruta” e segura de calcular sem recortar etapas.