Ache cada limite, se existir.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h}.
Informações dadas e o que se busca:
  • a é um parâmetro (assumir a\in\mathbb{R}).
  • A variável que tende a zero é h.
  • Quer-se o valor numérico (em termos de a) desse limite quando h\to0.

Passo 2

Plano de ataque (curto e prático): é natural usar a expansão do binómio (a+h)^4 — é uma técnica direta, elementar e que cancela o termo a^4 no numerador, deixando fatores de h que podemos dividir e depois fazer h\to0. Vou lembrar e aplicar o Teorema do Binómio.

Passo 3

Lembrete do Teorema do Binómio para potência 4: para quaisquer a e h,
(a+h)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} a^{4-k} h^{k}.
Aqui os coeficientes binomiais são
\binom{4}{0}=1,\quad \binom{4}{1}=4,\quad \binom{4}{2}=6,\quad \binom{4}{3}=4,\quad \binom{4}{4}=1.
Portanto, explicitamente,
(a+h)^4 = a^4 + 4a^3 h + 6a^2 h^2 + 4a h^3 + h^4.

Passo 4

Substituindo essa expansão no numerador e simplificando:
(a+h)^4 - a^4 = \bigl(a^4 + 4a^3 h + 6a^2 h^2 + 4a h^3 + h^4\bigr) - a^4 = 4a^3 h + 6a^2 h^2 + 4a h^3 + h^4.

Passo 5

Agora divide-se pelo h (presumindo h\neq0, o que é válido enquanto tomamos o quociente para depois fazer o limite):
\frac{(a+h)^4 - a^4}{h} = 4a^3 + 6a^2 h + 4a h^2 + h^3.

Passo 6

Fazer o limite quando h\to0. Usando que limites são linearmente compatíveis com soma e que \lim_{h\to0} h^n = 0 para n\ge1, resulta
\lim_{h\to0}\bigl(4a^3 + 6a^2 h + 4a h^2 + h^3\bigr) = 4a^3 + 6a^2\cdot 0 + 4a\cdot 0 + 0 = 4a^3.
Portanto o limite existe e vale 4a^3.

Passo 7

Observação adicional (conexão conceitual): esse limite é exatamente a definição do derivado de f(x)=x^4 no ponto x=a:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aplicando a regra do expoente (power rule) obteríamos também f'(a)=4a^3. A expansão que fiz é a maneira “bruta” e segura de calcular sem recortar etapas.

Resposta

\,4a^{3}\,