Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{3-x}{|3-x|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{3-x}{|3-x|}
Informações dadas:
  • A aproximação é pela direita de 3, ou seja, estamos considerando valores de x tais que x>3 e x muito próximos de 3.
  • A expressão envolve valor absoluto |3-x|.
  • A tarefa: determinar o valor do limite (se existir).

Passo 2

Relembrando a definição do valor absoluto (isso é importante para manipular a expressão):
Para qualquer real t\) vale \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Uma consequência útil: para t\neq0\], \[\frac{t}{|t|} = \begin{cases} 1, & \text{se } t>0,\\[4pt] -1, & \text{se } t<0. \end{cases}\] (O quociente \(t/|t| é justamente a função sinal de t.)]

Passo 3

Agora apliquei isso ao nosso caso. Como estamos calculando \lim_{x\to3^{+}}, para x suficientemente próximos de 3 pela direita temos x>3. Portanto
3-x < 0.
Pelo caso t<0 da definição do valor absoluto, com t=3-x obtemos
|3-x| = -(3-x) = x-3.

Passo 4

Substituindo na expressão e simplificando:
\frac{3-x}{|3-x|} = \frac{3-x}{x-3} = \frac{-(x-3)}{x-3} = -1
para todo x>3 (próximo de 3). Assim a função fica constantemente igual a -1 numa vizinhança direita de 3, portanto o limite pela direita é -1.

Passo 5

Observação didática rápida (para fixar): de modo geral, para qualquer ponto a,
\lim_{x\to a^{+}} \frac{a-x}{|a-x|} = -1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a^{-}} \frac{a-x}{|a-x|} = 1.
Isso mostra que a função tem descontinuidade de salto em x=a.

Resposta

-1