Ache o comprimento do arco dado.
a) x = t^2/2 + t, y = t^2/2 - t, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar o comprimento do arco de uma curva definida por funções paramétricas. Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de funções paramétricas. Vamos precisar calcular as derivadas de e , depois usar essas derivadas na fórmula para encontrar o comprimento total do arco no intervalo de de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de e em relação a .
Dada:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções paramétricas:
Neste caso, e .

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos fatorar o 2 fora da raiz para simplificar:
A integral agora é:

Passo 7

A integral é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 8

Calculando em :
Calculando em :
Então, a diferença é:
Multiplicando pela que está na frente da integral:

Resposta

O comprimento do arco é:
Então, aproximadamente 1.625 unidades.

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