Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
b) f(x, y) = 3 x^2 - 4 y^2 ; U = cos(pi/3) i + sen(pi/3) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um vetor unitário . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional dessa função na direção e sentido do vetor . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas nos mostram como a função muda quando movemos apenas na direção de ou .

Passo 4

Agora, precisamos dos componentes do vetor unitário . Dado :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir , , e os componentes de na fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional da função na direção do vetor unitário é:

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