Ache as derivadas parciais indicadas.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Essas expressões representam as derivadas parciais de segunda ordem da função
:
-
é a derivada de primeiro em relação a e depois em relação a . -
é a derivada de primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos começar calculando
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: