Ache a equação da reta tangente a curva no ponto dado:
(a) y \cos \left(\pi x^{2}\right)=x \cos \left(\pi y^{2}\right), no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y\cos\bigl(\pi x^{2}\bigr)=x\cos\bigl(\pi y^{2}\bigr)
e pede a reta tangente em (1,1). O conteúdo é derivação implícita e equação de reta tangente.

Passo 2

Diferenciando os dois lados em relação a x e usando regra do produto e cadeia, temos
\frac{d}{dx}\bigl[y\cos(\pi x^2)\bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[x\cos(\pi y^2)\bigr].
Aplicando:
y'\cos(\pi x^2)+y\bigl(-\sin(\pi x^2)\cdot2\pi x\bigr) = 1\cdot\cos(\pi y^2)+x\bigl(-\sin(\pi y^2)\cdot2\pi y\,y'\bigr).

Passo 3

Reagrupando os termos com y' de um lado:
y'\cos(\pi x^2)+2\pi x y\,\sin(\pi y^2)\,y' =\cos(\pi y^2)+2\pi x y\,\sin(\pi x^2).
Fatorando y':
y'\Bigl[\cos(\pi x^2)+2\pi x y\,\sin(\pi y^2)\Bigr] =\cos(\pi y^2)+2\pi x y\,\sin(\pi x^2).
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y' =\frac{\cos(\pi y^2)+2\pi x y\,\sin(\pi x^2)}{\cos(\pi x^2)+2\pi x y\,\sin(\pi y^2)}.

Passo 4

No ponto (1,1) vale \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. Substituindo:
y'(1,1)=\frac{-1+0}{-1+0}=1.
Então a reta tangente, com m=1 em (1,1), é
y-1=1\,(x-1),
ou seja y=x.

Resposta

y=x

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