Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas
r:llr x & = & 2+lambda y & = & lambda z & = & -1+lambda e s: x+y=2 z=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta r definida por:
    r:llr x & = & 2+lambda y & = & lambda z & = & -1+lambda
  • Reta s definida por:
    s: x + y &= 2 z &= 0
Queremos encontrar as equações na forma simétrica da reta perpendicular comum às retas r e s. Isso significa que precisamos encontrar uma reta que é perpendicular a ambas as retas dadas e que intersecta ambas elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores das retas, produto vetorial para encontrar perpendicularidade, e sistemas de equações para determinar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é um vetor que indica a direção em que a reta se move.
Para a reta r:
  • Observando as equações paramétricas: x = 2 + lambda, y = lambda, z = -1 + lambda Podemos ver que, à medida que lambda varia, a reta se move na direção do vetor diretor u = (1, 1, 1).
Para a reta s:
  • A reta s está definida pela interseção dos planos x + y = 2 e z = 0. Isso significa que a reta s está no plano z = 0 e tem direção ao longo da linha onde esses dois planos se encontram.
  • Podemos reescrever a equação x + y = 2 em termos de x: y = 2 - x Então, podemos parametrizar a reta s como: x = t, y = 2 - t, z = 0 Portanto, o vetor diretor da reta s é v = (1, -1, 0).

Passo 3

Agora, para encontrar a reta perpendicular comum às retas r e s, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores u e v.
Uma maneira eficiente de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial n = u times v:
n = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
n = i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(-1 - 1) = i(1) + j(1) + k(-2)
Então, n = (1, 1, -2).
Esse vetor n será o vetor diretor da reta perpendicular que estamos buscando.

Passo 4

Com o vetor diretor n = (1, 1, -2), precisamos agora encontrar um ponto específico por onde essa reta passa. Esse ponto deve estar simultaneamente na reta perpendicular e ser equidistante das retas r e s.
Para encontrar esse ponto, vamos supor que ele está na reta r para encontrar as coordenadas correspondentes. Na reta r, um ponto genérico é (2 + lambda, lambda, -1 + lambda). Queremos que o vetor que liga esse ponto a um ponto na reta s seja perpendicular a ambas as retas.
Vamos considerar um ponto genérico na reta s, que pode ser parametrizado como (t, 2 - t, 0). O vetor que liga o ponto na reta r a um ponto na reta s é:
w = (t - (2 + lambda), (2 - t) - lambda, 0 - (-1 + lambda)) = (t - 2 - lambda, 2 - t - lambda, 1 - lambda)
Para que w seja perpendicular a u e v, o produto escalar de w com u e com v deve ser zero.
Calculando o produto escalar com u:
w cdot u = (t - 2 - lambda) cdot 1 + (2 - t - lambda) cdot 1 + (1 - lambda) cdot 1 = t - 2 - lambda + 2 - t - lambda + 1 - lambda = 1 - 3lambda = 0
Então, 1 - 3lambda = 0 implies lambda = 13.

Passo 5

Agora, calculamos o valor de t usando o produto escalar com v:
w cdot v = (t - 2 - lambda) cdot 1 + (2 - t - lambda) cdot (-1) + (1 - lambda) cdot 0 = t - 2 - lambda - (2 - t - lambda) = t - 2 - lambda - 2 + t + lambda = 2t - 4 = 0
Então, 2t - 4 = 0 implies t = 2.

Passo 6

Agora que temos lambda = 13 e t = 2, podemos encontrar as coordenadas do ponto na reta r:
x = 2 + lambda = 2 + 13 = 73, y = lambda = 13, z = -1 + lambda = -1 + 13 = -23
Portanto, o ponto de interseção da reta perpendicular comum com a reta r é (73, 13, -23).

Passo 7

Com o ponto (73, 13, -23) e o vetor diretor n = (1, 1, -2), podemos escrever a equação da reta perpendicular comum em forma paramétrica:
x &= 73 + t y &= 13 + t z &= -23 - 2t
Para converter para a forma simétrica, isolamos o parâmetro t em cada equação:
x - 731 = y - 131 = z + 23-2

Resposta

A reta perpendicular comum às retas r e s na forma simétrica é:
x - 731 = y - 131 = z + 23-2

Exercícios relacionados