Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
Reta r definida por:
r:llr x & = & 2+lambda y & = & lambda z & = & -1+lambda
Reta s definida por:
s: x + y &= 2 z &= 0
Queremos encontrar as equações na forma simétrica da reta perpendicular comum às retas r e s. Isso significa que precisamos encontrar uma reta que é perpendicular a ambas as retas dadas e que intersecta ambas elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores das retas, produto vetorial para encontrar perpendicularidade, e sistemas de equações para determinar os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é um vetor que indica a direção em que a reta se move.
Para a reta r:
Observando as equações paramétricas: x = 2 + lambda, y = lambda, z = -1 + lambda Podemos ver que, à medida que lambda varia, a reta se move na direção do vetor diretor u = (1, 1, 1).
Para a reta s:
A reta s está definida pela interseção dos planos x + y = 2 e z = 0. Isso significa que a reta s está no plano z = 0 e tem direção ao longo da linha onde esses dois planos se encontram.
Podemos reescrever a equação x + y = 2 em termos de x: y = 2 - x Então, podemos parametrizar a reta s como: x = t, y = 2 - t, z = 0 Portanto, o vetor diretor da reta s é v = (1, -1, 0).
Passo 3
Agora, para encontrar a reta perpendicular comum às retas r e s, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores u e v.
Uma maneira eficiente de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Esse vetor n será o vetor diretor da reta perpendicular que estamos buscando.
Passo 4
Com o vetor diretor n = (1, 1, -2), precisamos agora encontrar um ponto específico por onde essa reta passa. Esse ponto deve estar simultaneamente na reta perpendicular e ser equidistante das retas r e s.
Para encontrar esse ponto, vamos supor que ele está na reta r para encontrar as coordenadas correspondentes. Na reta r, um ponto genérico é (2 + lambda, lambda, -1 + lambda). Queremos que o vetor que liga esse ponto a um ponto na reta s seja perpendicular a ambas as retas.
Vamos considerar um ponto genérico na reta s, que pode ser parametrizado como (t, 2 - t, 0). O vetor que liga o ponto na reta r a um ponto na reta s é: