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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função
Informações dadas:
A única pergunta é: calcular
em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro simplificamos o numerador usando a identidade trigonométrica básica
Aqui
. Aplicando, reescrevemos a função como
Explicação da identidade: a relação
é fundamental; isolando
obtemos
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para remover o quociente e obter uma equação mais direta para derivar:
Motivo: quando uma variável aparece tanto em numerador quanto dentro de uma função (aqui
), é mais simples diferenciar a equação no formato produto igual a algo.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrete das regras que usaremos:
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
, então . - Derivada do logaritmo: se
então
Aqui
é função de
, então
representa
. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 5
Derivamos o lado esquerdo
usando a regra do produto. Tome
e
.
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Agoraexige a regra da cadeia: se então . Assim
Portanto o lado esquerdo derivado fica
Passo 6
Derivamos o lado direito
. Use a cadeia com
aplicado a
:
Agora
(regra da cadeia: derivada de
é
, multiplicar pela derivada de
, que é
). Logo
Observação trigonométrica (opcional): podemos usar
para escrever
, mas manterei a forma
para clareza.
Passo 7
Agora juntamos as derivadas obtidas. A equação derivada fica
Expandimos o termo da esquerda que contém
:
Passo 8
Agrupamos os termos que contêm
para isolar
. Os termos com
são
e
. Colocando-os juntos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator que multiplica
:
Para uma forma sem fração dentro da fração, multiplicamos numerador e denominador por
(operação algébrica legítima desde que
):
Também, se preferir, podemos usar a identidade trigonométrica mencionada para simplificar o termo trigonométrico:
obtendo equivalentes: