Ache \frac{d y}{d x}
y=\frac{1-\operatorname{sen}^{2}(4 x)}{\ln (x+y)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função
y=\frac{1-\operatorname{sen}^{2}(4 x)}{\ln (x+y)}.
Informações dadas:
\text{1) } y \text{ está definida implicitamente, aparece também dentro de } \ln(x+y).áé
\text{2) } \operatorname{sen} \text{ denota a função seno (vou usar } \sin \text{ no cálculo, que é o mesmo).}çãáé
A única pergunta é: calcular \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y.

Passo 2

Primeiro simplificamos o numerador usando a identidade trigonométrica básica
1-\sin^{2}(u)=\cos^{2}(u).
Aqui u=4x. Aplicando, reescrevemos a função como
y=\frac{\cos^{2}(4x)}{\ln(x+y)}.
Explicação da identidade: a relação \sin^{2}u+\cos^{2}u=1 é fundamental; isolando \cos^{2}u obtemos \cos^{2}u=1-\sin^{2}u.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por \ln(x+y) para remover o quociente e obter uma equação mais direta para derivar:
y\ln(x+y)=\cos^{2}(4x).
Motivo: quando uma variável aparece tanto em numerador quanto dentro de uma função (aqui \ln(x+y)), é mais simples diferenciar a equação no formato produto igual a algo.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. Lembrete das regras que usaremos:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Derivada do logaritmo: se h(x)=\ln(u(x)) então
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui y=y(x) é função de x, então y' representa \dfrac{dy}{dx}. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 5

Derivamos o lado esquerdo y\ln(x+y) usando a regra do produto. Tome u(x)=y e v(x)=\ln(x+y).
  • Primeiro termo: u'(x)v(x)=y'\ln(x+y).
  • Segundo termo: u(x)v'(x)=y\cdot\frac{d}{dx}\ln(x+y).
    Agora \dfrac{d}{dx}\ln(x+y) exige a regra da cadeia: se u(x)=x+y(x) então u'(x)=1+y'. Assim
\frac{d}{dx}\ln(x+y)=\frac{1+y'}{x+y}.
Portanto o lado esquerdo derivado fica
\frac{d}{dx}\bigl(y\ln(x+y)\bigr)=y'\ln(x+y)+y\cdot\frac{1+y'}{x+y}.

Passo 6

Derivamos o lado direito \cos^{2}(4x). Use a cadeia com f(t)=t^{2} aplicado a t=\cos(4x):
\frac{d}{dx}\cos^{2}(4x)=2\cos(4x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(4x)\bigr).
Agora \dfrac{d}{dx}\cos(4x)=-\sin(4x)\cdot 4 (regra da cadeia: derivada de \cos é -\sin, multiplicar pela derivada de 4x, que é 4). Logo
\frac{d}{dx}\cos^{2}(4x)=2\cos(4x)\cdot(-\sin(4x)\cdot 4)=-8\cos(4x)\sin(4x).
Observação trigonométrica (opcional): podemos usar 2\sin a\cos a=\sin(2a) para escrever -8\cos(4x)\sin(4x)=-4\sin(8x), mas manterei a forma -8\cos(4x)\sin(4x) para clareza.

Passo 7

Agora juntamos as derivadas obtidas. A equação derivada fica
y'\ln(x+y)+y\cdot\frac{1+y'}{x+y}=-8\cos(4x)\sin(4x).
Expandimos o termo da esquerda que contém 1+y':
y'\ln(x+y)+\frac{y}{x+y}+\frac{y\,y'}{x+y}=-8\cos(4x)\sin(4x).

Passo 8

Agrupamos os termos que contêm y' para isolar y'. Os termos com y' são y'\ln(x+y) e \dfrac{y\,y'}{x+y}. Colocando-os juntos:
y'\Bigl(\ln(x+y)+\frac{y}{x+y}\Bigr)+\frac{y}{x+y}=-8\cos(4x)\sin(4x).
Subtraindo \dfrac{y}{x+y} de ambos os lados:
y'\Bigl(\ln(x+y)+\frac{y}{x+y}\Bigr)=-8\cos(4x)\sin(4x)-\frac{y}{x+y}.

Passo 9

Finalmente isolamos y' dividindo pelo fator que multiplica y':
y'=\frac{-8\cos(4x)\sin(4x)-\dfrac{y}{x+y}}{\ln(x+y)+\dfrac{y}{x+y}}.
Para uma forma sem fração dentro da fração, multiplicamos numerador e denominador por x+y (operação algébrica legítima desde que x+y\neq 0):
y'=\frac{-8\cos(4x)\sin(4x)\,(x+y)-y}{(x+y)\ln(x+y)+y}.
Também, se preferir, podemos usar a identidade trigonométrica mencionada para simplificar o termo trigonométrico:
-8\cos(4x)\sin(4x)=-4\sin(8x),
obtendo equivalentes:
y'=\frac{-4\sin(8x)-\dfrac{y}{x+y}}{\ln(x+y)+\dfrac{y}{x+y}} \quad\text{ou}\quad y'=\frac{-4\sin(8x)\,(x+y)-y}{(x+y)\ln(x+y)+y}.

Resposta

y'=\frac{-8\cos(4x)\sin(4x)-\dfrac{y}{x+y}}{\ln(x+y)+\dfrac{y}{x+y}}