Ache a integral indefinida:
(k) integral 1(x^2+2 x+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais, especificamente transformando o denominador para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e utilizar substituições trigonométricas ou outras técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 . Completar o quadrado ajuda a simplificar expressões quadráticas, facilitando a integração.
integral 1((x + 1)^2 + 1)^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir integral 1(u^2 + 1)^2 , du , então . Substituindo na integral:

Passo 4

Para integrar integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2)) + 12a^3 arctan(ua) + C , vamos usar uma fórmula de integração conhecida:
integral 1(u^2 + 1)^2 , du = u2(u^2 + 1) + 12 arctan(u) + C
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos x + 12((x + 1)^2 + 1) + 12 arctan(x + 1) + C de volta na expressão:
x + 12(x^2 + 2x + 2) + 12 arctan(x + 1) + C
Simplificando um pouco, temos:

Resposta

A integral indefinida é:
integral 1(x^2+2x+2)^2 , dx = x + 12(x^2 + 2x + 2) + 12 arctan(x + 1) + C

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