Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D. (Esboce D.)
d) f(x, y) = 2 x^2 - x y + y^2 + 7 x ; D = {(x, y) in R^2 / -3 <= x <= 3, -3 <= y <= 3}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os máximos e mínimos absolutos da função na região , que é um quadrado com lados de -3 a 3 tanto para quanto para . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, encontrando pontos críticos dentro da região e também verificando nas bordas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvendo a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Então, . O ponto crítico é .

Passo 6

Vamos verificar se esse ponto está dentro da região . Como e , está dentro da região.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:

Passo 8

Em seguida, precisamos verificar os valores da função nas bordas da região . As bordas são onde , , e .

Passo 9

Vamos começar fixando e variar de -3 a 3:
Essa é uma parábola em que atinge seu mínimo no vértice :
Os extremos nessa borda são e, calculando para :

Passo 10

Agora, fixamos e variamos de -3 a 3:
Essa parábola tem mínimo em :
Os extremos nessa borda são e, calculando para :

Passo 11

Agora, vamos fixar e variar de -3 a 3:
Essa parábola em tem mínimo em :
Os extremos nessa borda são e, calculando para :

Passo 12

Por último, fixamos e variamos de -3 a 3:
Essa parábola tem mínimo em :
Os extremos nessa borda são e, calculando para :

Resposta

Após analisar todos os pontos críticos e as bordas da região , encontramos que:
  • O mínimo absoluto da função é no ponto .
  • O máximo absoluto da função é no ponto .

Exercícios relacionados