Ache o máximo e o mínimo de
em
. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto compacto
isto é, o retângulo fechado com vértices
.
O que a questão pede: encontrar o máximo e o mínimo de em
(valores e pontos onde ocorrem).
O que a questão pede: encontrar o máximo e o mínimo de
Passo 2
Estratégia que vou aplicar (breve explicação didática): para funções contínuas em conjuntos compactos, os extremos globais ocorrem ou em pontos críticos interiores (onde o gradiente é zero) ou na fronteira. Então primeiro encontro os pontos críticos interiores resolvendo [\nabla f=0); depois examino a fronteira (cada aresta do retângulo é um problema de uma variável) e comparo todos os valores obtidos.
Calcule as derivadas parciais:
Igualo ambas a zero para achar pontos críticos interiores:
Resolvo o sistema linear. Da primeira equação
Substituo na segunda:
Então
Portanto há um único ponto crítico interior:
Verifico que ele está dentro do retângulo porque
.]
Passo 3
Classificação do ponto crítico (aula rápida sobre Hessiana): para decidir se um ponto crítico é mínimo, máximo ou sela, uso a matriz Hessiana
O determinante de
é
Quando
a Hessiana é indefinida e o ponto crítico é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local). Portanto esse ponto não é candidato a extremo global (a não ser que a fronteira não ofereça valores maiores/menores, mas seguiremos e compararemos).]
Passo 4
Avalio
no ponto crítico (cálculo detalhado):
Coloco tudo sobre
(pois
):
Assim
Passo 5
Agora examino a fronteira: aresta
,
.
Defino . Substituo:
Defino
Derivada:
Solução de
é
, fora de
. Como
é negativo em todo o intervalo,
é decrescente em
. Portanto máximos/minimos ocorrem nas extremidades do intervalo:
Assim na aresta
os candidatos são
com
e
com
.
Passo 6
Aresta
,
.
Defino :
Defino
Derivada:
que zera em
, fora do intervalo. Aqui
no intervalo, então
é crescente em
. Valores nas extremidades:
Assim na aresta
os candidatos são
com
e
com
.
Passo 7
Aresta
,
.
Defino :
Defino
Derivada:
que zera em
, fora de
. No intervalo
, então
é decrescente, e extremos nas extremidades:
Isso reproduz
com
e
com
já encontrados.
Passo 8
Aresta
,
.
Defino :
Defino
Derivada:
que zera em
(este está dentro do intervalo). Como
é um quadrado positivo menos 8, é convexo;
dá o mínimo local/ global na aresta. Avalio:
Logo na aresta
os candidatos são
com
e os cantos
com
.
Passo 9
Reúno todos os valores candidatos (interior + fronteira):
Comparo: o maior valor é
em
. O menor valor é
em
. (Note que
, então
realmente é mínimo global.)
Resposta
Máximo global:
.
Mínimo global:
.