Ache o máximo e o mínimo de f(x, y, z) = x + 2y + z + raiz(2) sujeita aos vínculos x^2 + y^2 = 1 e y + z = 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições e . Para resolver isso, vamos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as restrições para reduzir o número de variáveis. Observando a segunda restrição , podemos resolver para :
Agora, substituímos na função :
Então, a função a ser otimizada agora é , sujeita à restrição .

Passo 3

Vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador para a restrição . A Lagrangiana fica:
Para encontrar os pontos extremos, derivamos a Lagrangiana em relação a , e e igualamos a zero:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :

Passo 5

Sabendo que , substituímos na restrição :
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar usando a restrição :
Para :
Para :

Passo 7

Agora temos dois pontos candidatos para os extremos:
Vamos calcular em cada ponto.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:

Resposta

O valor máximo de é e o valor mínimo é .

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