Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. A questão pede para encontrarmos o valor de que torna a função contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. A função para é:
Perceba que se substituirmos diretamente, o denominador se torna zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador . Sabemos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Assim, temos:
Podemos simplificar cancelando nos numeradores e denominadores, desde que :

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite de quando se aproxima de 2 utilizando a forma simplificada:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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