Ache o polinômio característico, os autovalores e autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\\\ 4 & 0 & 4 \\\\ 1 & -1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\\\ 4 & 0 & 4\\\\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será definição de polinômio característico \det(A - \lambda I), fatoração de polinômio e solução de sistemas lineares para (A - \lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
p(\lambda)=\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & -2\\\\ 4 & -\lambda & 4\\\\ 1 & -1 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha, obtemos
p(\lambda) =(1-\lambda)\bigl(\lambda^2-4\lambda+4\bigr) -1\bigl(4(4-\lambda)-4\bigl) +(-2)\bigl(4(-1)-(-\lambda)\bigr).
Desenvolvendo e somando termos, chega-se a
p(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda =-\lambda(\lambda-2)(\lambda-3).

Passo 3

Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0, isto é
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=3.

Passo 4

Para \lambda_1=0\) resolvemos \[A v=0\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x+y-2z=0,\\\\ 4x+4z=0,\\\ x-y+4z=0. \end{cases}
Da segunda equação x=-z\]. Substituindo na primeira dá \(y=3z, e a terceira é redundante. Logo um autovetor correspondente é
v_1=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=2\) resolvemos \((A-2I)v=0\), i.e. \[\begin{cases} -x+y-2z=0,\\\\ 4x-2y+4z=0,\\\ x-y+2z=0. \end{cases}
Da primeira x=y-2z\]. Na segunda vem \(2y-4z=0 logo y=2z, e então x=0. Um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=3\) resolvemos \((A-3I)v=0\), i.e. \[\begin{cases} -2x+y-2z=0,\\\\ 4x-3y+4z=0,\\\ x-y+z=0. \end{cases}
Da primeira y=2x+2z\]. Na terceira dá \(x=-z, então y=0. Um autovetor é
v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Polinômio característico:
p(\lambda)=-\lambda(\lambda-2)(\lambda-3).
Autovalores: \lambda_1=0,\;\lambda_2=2,\;\lambda_3=3.
Autovetores:
v_1=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.