Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o) f(x) = e^x, -pi < x < pi

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente encontre a Série de Fourier da função no intervalo de a . Série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para os coeficientes de Fourier e entender como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma função periódica com período pode ser representada pela Série de Fourier:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que vamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Então, substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a integral para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que precisamos integrar . O resultado dessa integral é:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 8

Da mesma forma que com , resolvemos a integral de . O resultado dessa integral é:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a Série de Fourier completa para :

Resposta

A Série de Fourier de no intervalo é:

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