Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
o)
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente encontre a Série de Fourier da função
no intervalo de
a
. Série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para os coeficientes de Fourier e entender como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma função periódica com período
pode ser representada pela Série de Fourier:
Aqui,
,
e
são os coeficientes de Fourier que vamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Então, substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver a integral para
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que precisamos integrar
. O resultado dessa integral é:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 8
Da mesma forma que com
, resolvemos a integral de
. O resultado dessa integral é:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a Série de Fourier completa para
:
Resposta
A Série de Fourier de
no intervalo
é: