Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
x y' = 1/2 y^2 + y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a técnica de separação de variáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis e para integrar e achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :
Isso nos ajuda a ver a relação entre e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:
Isso permite que a gente integre cada lado separadamente.

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo para facilitar a integração. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Finalmente, isolamos para expressar a solução geral:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação usando a técnica de separação de variáveis é:
Onde é uma constante arbitrária.

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