Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a técnica de separação de variáveis. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis e para integrar e achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . Dividindo ambos os lados por :
Isso nos ajuda a ver a relação entre e .
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:
Isso permite que a gente integre cada lado separadamente.
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo para facilitar a integração. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e , encontramos e . Então:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Passo 9
Finalmente, isolamos para expressar a solução geral:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação usando a técnica de separação de variáveis é: