Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
dr/dt = -2 tr, r(0) = ro

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação de em relação ao tempo e uma condição inicial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do tipo separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que temos:
Essa é uma equação diferencial do tipo separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração de é e a de é . Então temos:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar de outra constante, digamos , então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Substituindo :

Resposta

A solução particular da EDO é:

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