Ache uma solucao particular de y'' + y' - 6y = 52 cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função bem comportada, como cosseno, seno, exponenciais, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, precisamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea, resultando em:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito da equação é uma combinação de cosseno, assumimos que a solução particular tem a forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de e dos dois lados da equação:
  1.  →  Equação 1
  2.  →  Equação 2

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e .
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Agora, encontramos :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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