Ache uma solucao particular de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função bem comportada, como cosseno, seno, exponenciais, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, precisamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea, resultando em:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito da equação é uma combinação de cosseno, assumimos que a solução particular tem a forma:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de
e
dos dois lados da equação:
-
→ Equação 1 -
→ Equação 2
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
.
Da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Agora, encontramos
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: