Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região D, limitada pelo arco de curva C dado, se F for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo e a área de D seja medida em centímetros quadrados.
a) F(x, y) = (y^2 + 6x) i + (2y - x^2) j, C é a elipse x^2 + 4y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a taxa de escoamento do fluido saindo de uma região , que é delimitada por uma elipse . A gente vai usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a área que ela delimita. Vamos precisar das componentes do campo de velocidade e da equação da elipse .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que para o cálculo da taxa de escoamento (fluxo) é dado por:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do fluxo:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é uma elipse . Podemos simplificar mudando para coordenadas elípticas. Dividindo a equação da elipse por 4:
Isso nos sugere usar uma troca de variável onde e , com indo de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Calculando o elemento de área na nova coordenada:
Onde é o determinante jacobiano da transformação. Calculando:
Então,
Portanto, .

Passo 6

Agora, expressamos a função sob a integral em coordenadas e :
Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Portanto, o fluxo total é:

Resposta

A taxa de escoamento do fluido para fora da região é 0 cm³/s.

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