Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\begin{cases}t, & t<2 \\\\ 2, & t>2 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(t)= \begin{cases} t, & 0\le t<2,\\\\ 2, & t>2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace
F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
O conteúdo é quebra de integral em intervalos onde f muda de expressão.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas, de 0 a 2 (onde f(t)=t) e de 2 a \infty (onde f(t)=2):
F(s) =\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt +\int_{2}^{\infty}2\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para a primeira parcela usamos a fórmula conhecida
\int_{0}^{a}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-sa}(1+sa)}{s^{2}}.
Aqui a=2, logo
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-2s}(1+2s)}{s^{2}}.

Passo 4

Para a segunda parcela calculamos diretamente:
\int_{2}^{\infty}2\,e^{-st}\,dt =2\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{2}^{\infty} =\frac{2}{s}\,e^{-2s}.

Passo 5

Somando as duas partes:
F(s) =\frac{1 - e^{-2s}(1+2s)}{s^{2}} +\frac{2\,e^{-2s}}{s} =\frac{1}{s^{2}} -e^{-2s}\frac{1+2s}{s^{2}} +e^{-2s}\frac{2s}{s^{2}} =\frac{1 - e^{-2s}}{s^{2}}.

Resposta

F(s)=\frac{1 - e^{-2s}}{s^{2}}.

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