Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\operatorname{sen}(t), 0 \leq t<\pi, f(t+\pi)=f(t).

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período T=\pi dada por
f(t)=\sin(t)\quad\text{para }0\le t<\pi,
e f(t+\pi)=f(t). Queremos obter a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f\}(s). Para isso, vamos usar a fórmula de transformada para funções periódicas.

Passo 2

A fórmula da transformada de Laplace de uma função periódica f de período T é
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui T=\pi, então
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{1-e^{-s\pi}}\int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin(t)\,dt.

Passo 3

Agora calculamos
I(s)=\int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin(t)\,dt.
Usamos integração por partes ou a fórmula padrão
\int e^{-st}\sin(t)\,dt =-\frac{e^{-st}\bigl(s\sin(t)+\cos(t)\bigr)}{s^{2}+1}.
Avaliação de 0 a \pi
I(s) =\left[-\frac{e^{-st}\bigl(s\sin t+\cos t\bigr)}{s^{2}+1}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.

Passo 4

Substituindo I(s) na fórmula periódica:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{1-e^{-s\pi}}\;\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1} =\frac{1+e^{-s\pi}}{(s^{2}+1)\bigl(1-e^{-s\pi}\bigr)}.

Passo 5

Observamos que
\frac{1+e^{-s\pi}}{1-e^{-s\pi}} =\coth\bigl(\tfrac{s\pi}{2}\bigr),
portanto a expressão simplifica para
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{\coth\bigl(\tfrac{s\pi}{2}\bigr)}{s^{2}+1}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1+e^{-s\pi}}{(s^{2}+1)\bigl(1-e^{-s\pi}\bigr)} \;=\;\frac{\coth\bigl(\tfrac{s\pi}{2}\bigr)}{s^{2}+1}.

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