Um aço ao carbono comum passou por um tratamento termoquímico. Sabendo que o coeficiente de difusão do carbono no ferro é \mathrm{D}=3,08 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} à 700^{\circ} \mathrm{C}, que após 2 horas foi detectada uma quantidade de 0,8 \% de carbono a 0,2 \mathrm{~mm} da superfície (ponto A) e que a atmosfera à 700^{\circ} \mathrm{C} continha 1,0 \% de carbono, responda:
a) Qual a quantidade de carbono inicial no aço? Sugira uma nomenclatura para ele.
b) Faça um esboço da superfície do aço, mostrando o ponto citado e o efeito do tratamento. Em uma distância de 0,05 \mathrm{~mm} da superfície sugira, sem fazer nenhum cálculo, qual seria a concentração de carbono.
c) Caso o processo fosse realizado sob as mesmas condições, alterando apenas a temperatura para 900^{\circ} \mathrm{C}, a porcentagem de carbono no ponto A, seria maior ou menor? Por quê?
d) Qual propriedade é mudada com esse processo? Cite uma utilidade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Coeficiente de difusão do carbono no ferro à 700^\circ\mathrm{C}: \,D=3{,}08\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.
  • Tempo de tratamento: t=2\\ \text{horas} = 7200\\ \mathrm{s}.
  • Na distância x=0{,}2\\ \mathrm{mm}=0{,}0002\\ \mathrm{m} (ponto A) foi detectada a concentração de carbono C(x,t)=0{,}8\\ \%.
  • A atmosfera contém C_s=1{,}0\\ \% de carbono (concentração mantida na superfície).
  • O aço antes do tratamento tem alguma concentração inicial homogênea C_0 (é o que devemos encontrar).
O enunciado pede:
a) Calcular a quantidade de carbono inicial C_0 e sugerir uma nomenclatura para esse aço.
b) Fazer (descrever) um esboço da superfície mostrando o ponto A e o efeito do tratamento; sem cálculo, estimar a concentração a 0{,}05\\ \mathrm{mm} da superfície.
c) Se a temperatura fosse 900^\circ\mathrm{C} (mesmas demais condições), a porcentagem de carbono no ponto A seria maior ou menor? Justificar.
d) Que propriedade do aço muda com esse processo? Citar uma utilidade.

Passo 2

Qual é o modelo físico/matemático que usamos (aula rápida de difusão e a solução aplicável).
  • Quando um sólido semi-infinito (uma peça grande comparada à camada difundida) tem concentração inicial homogênea C_0 e a superfície x=0 é mantida em concentração constante C_s por tempo t, a distribuição de concentração ao longo da profundidade x é dada pela solução da equação de difusão (lei de Fick) com condição de superfície constante. A forma clássica dessa solução é:
C(x,t)=C_s-(C_s-C_0)\,\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}\right).
  • Aqui cada termo significa:
    • C(x,t): concentração no ponto a profundidade x após tempo t.
    • C_s: concentração mantida na superfície ( x=0).
    • C_0: concentração inicial no material (antes do tratamento), assumida homogênea.
    • D: coeficiente de difusão (assumido constante nas condições dadas).
    • \mathrm{erf}(\cdot): função erro (error function), que surge na solução da equação de difusão; tem propriedades: \mathrm{erf}(0)=0 e \mathrm{erf}(\infty)=1.
  • Verificação de limites: em x=0 tem-se C(0,t)=C_s. Em profundidades grandes x\to\infty, \mathrm{erf}\to1 e C\to C_0. Isso bate com a intuição física (perto da superfície concentração tende a C_s, longe a material permanece em C_0).

Passo 3

Isolar C_0 da fórmula usando o dado do ponto A.
Partindo de
C(x,t)=C_s-(C_s-C_0)\,\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right),
rearranjando para C_0:
C_s-C(x,t)=(C_s-C_0)\,\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right),
C_s-C_0=\dfrac{C_s-C(x,t)}{\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)},
C_0 = C_s - \dfrac{C_s-C(x,t)}{\mathrm{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)}.
Agora vamos calcular numéricamente o argumento da \mathrm{erf}.

Passo 4

Calcular z=\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}} numericamente (todos os passos mostrados).
  • Primeiro t=2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s}.
  • Calcule D t:
D t = 3{,}08\times10^{-11}\times7200 = 2{,}2176\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
  • Raiz quadrada:
\sqrt{D t} = \sqrt{2{,}2176\times10^{-7}} \approx 4{,}7087\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Então
2\sqrt{D t} \approx 9{,}4174\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • E o argumento da \mathrm{erf} no ponto x=0{,}0002\\ \mathrm{m} é
z=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}}=\dfrac{0{,}0002}{9{,}4174\times10^{-4}}\approx0{,}2125.

Passo 5

Avaliar \mathrm{erf}(z) para z\approx0{,}2125 (explicando o método de aproximação).
  • Para pequenos z (digamos z\lesssim0{,}3) pode-se usar a série:
\mathrm{erf}(z)\approx\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\Big(z-\dfrac{z^3}{3}+\cdots\Big).
  • Usando os dois primeiros termos dá boa precisão aqui. Calcule:
\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\approx1{,}128379,
z=0{,}2125,\qquad z^3\approx0{,}009592.
\mathrm{erf}(0{,}2125)\approx1{,}128379\Big(0{,}2125-\dfrac{0{,}009592}{3}\Big) =1{,}128379\big(0{,}2125-0{,}003197\big) =1{,}128379\times0{,}209303\approx0{,}2363.
  • (Comparação: tabelas/calculadora dão valor próximo 0{,}236, então essa aproximação é adequada.)

Passo 6

Calcular C_0 substituindo os números.
  • Temos C_s=1{,}0\%, C(x,t)=0{,}8\%, e \mathrm{erf}(z)\approx0{,}2363.
C_0 = C_s - \dfrac{C_s-C(x,t)}{\mathrm{erf}(z)} =1{,}0 - \dfrac{1{,}0-0{,}8}{0{,}2363}\\ \% .
1{,}0-0{,}8 = 0{,}2.
\dfrac{0{,}2}{0{,}2363}\approx0{,}8468.
C_0 \approx 1{,}0 - 0{,}8468 = 0{,}1532\\ \%.
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal de porcentagem usada em metalurgia, C_0\approx0{,}15\\ \%.

Passo 7

Classificação/nomenclatura do aço com esse teor de carbono (explicação e sugestão amigável).
  • Na prática, a classificação de aços por teor de carbono costuma usar faixas: aço de baixo carbono \sim0{,}05\!-\!0{,}25\%, médio carbono \sim0{,}25\!-\!0{,}6\%, alto carbono >\!0{,}6\%.
  • Com C_0\approx0{,}15\% estamos claramente na faixa de baixo carbono.
  • Sugestão de nomenclatura: “aço baixo carbono (aprox. 0{,}15\% C)”. Exemplos comerciais aproximados: séries AISI/SAE como AISI 1015–1020 são típicas dessa faixa.

Passo 8

Parte (b) — esboço verbal do perfil de concentração e estimativa qualitativa em 0{,}05\\ \mathrm{mm}.
  • Desenho/esboço esperado (descrever para quem vai rabiscar):
    • Eixo horizontal: profundidade x (em mm), começando em x=0 na superfície.
    • Eixo vertical: concentração de carbono \%.
    • Em x=0 a concentração é C_s=1{,}0\%.
    • A curva decresce monotonamente e de forma suave (curva em “decair” tipo erro function) até se aproximar de C_0\approx0{,}15\% em profundidades maiores.
    • Marcar o ponto A em x=0{,}2\\ \mathrm{mm} com C=0{,}8\%.
  • Sem fazer cálculo: a 0{,}05\\ \mathrm{mm} da superfície (bem mais perto da superfície) a concentração estará muito próxima de C_s. Portanto, uma boa estimativa qualitativa seria algo entre 0{,}95\% e 1{,}00\% — ou simplesmente "próxima de 1{,}0\%". (Razão: a função erro cresce com x, logo mais perto da superfície o termo subtrativo é pequeno.)

Passo 9

Parte (c) — efeito de aumentar a temperatura para 900^\circ\mathrm{C} (mesmas demais condições).
  • Física rápida: o coeficiente de difusão D aumenta fortemente com a temperatura segundo uma lei do tipo Arrhenius:
D=D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{RT}\right),
onde Q é energia de ativação e T temperatura absoluta. Assim, D cresce quando T aumenta.
  • No nosso modelo, a profundidade característica de penetração é da ordem de \sqrt{Dt}. Se D aumenta, \sqrt{Dt} aumenta e o argumento z=\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}} diminui.
  • Como \mathrm{erf}(z) é uma função crescente de z, diminuir z diminui \mathrm{erf}(z), e pelo modelo
C(x,t)=C_s-(C_s-C_0)\,\mathrm{erf}(z),
uma \mathrm{erf} menor faz C(x,t) ficar mais próximo de C_s (ou seja, maior).
  • Conclusão: a porcentagem de carbono no ponto A seria maior a 900^\circ\mathrm{C} do que a 700^\circ\mathrm{C}, porque a difusão é mais rápida em temperatura maior e mais carbono chega à profundidade x no mesmo tempo.

Passo 10

Parte (d) — que propriedade muda com esse processo e uma utilidade prática.
  • Processo descrito é uma cementação (carburização) superficial: aumenta o teor de carbono na superfície.
  • Propriedade alterada: a dureza superficial (e resistência ao desgaste) aumenta; também pode aumentar a resistência à fadiga superficial dependendo do tratamento térmico subsequente (por exemplo, têmpera da camada superficial para formar martensita).
  • Utilidade prática: aumentar a vida por desgaste de componentes sujeitos a atrito/tensão na superfície — exemplos: engrenagens, eixos, dentes de rodas, pinos e eixos de comando (camshafts) em automóveis.

Resposta

a) C_0\approx0{,}15\\ \%. Nomenclatura sugerida: aço de baixo carbono (aprox. AISI/SAE 1015–1020).
b) Perfil: concentração máxima C_s=1{,}0\% na superfície decaindo suavemente até C_0\approx0{,}15\%; em x=0{,}2\\ \mathrm{mm} (ponto A) C=0{,}8\%. A x=0{,}05\\ \mathrm{mm} a concentração seria muito próxima de 1{,}0\% (por exemplo entre 0{,}95\% e 1{,}00\%).
c) A porcentagem de carbono no ponto A seria maior a 900^\circ\mathrm{C}, porque o coeficiente de difusão D aumenta com a temperatura, aumentando a penetração do carbono.
d) Propriedade alterada: dureza superficial (e resistência ao desgaste) aumenta; utilidade: peças como engrenagens e eixos, que precisam de superfície dura e núcleo tenaz.

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