adaptado de BAPTISTA e LARA, 2010, pg. 102) Após 10 anos de operação, a vazão da adutora abaixo deixou de atender satisfatoriamente a demanda. É necessário aumentar a vazão em 20 \%. Como solução, pretende-se instalar um tubo paralelamente ao trecho 2. f=0,02. Considerando que o novo trecho possua o mesmo comprimento que o antigo, qual deve ser o diâmetro deste?

Passo 1

O enunciado pede: instalar um tubo paralelo ao trecho 2 (mesmo comprimento do antigo) de modo que a vazão total aumente 20\%. Queremos achar o diâmetro desse novo tubo.
Dados que peguei da figura (usarei esses valores):
\begin{aligned} &\text{cota do reservatório superior} = 30\\ \text{m},\quad \text{cota do reservatório inferior} = 15\\ \text{m},\\\ &L_1=1000\\ \text{m},\quad D_1=400\\ \text{mm}=0{,}400\\ \text{m},\\\ &L_2=800\\ \text{m},\quad D_2=300\\ \text{mm}=0{,}300\\ \text{m},\\\ &f=0{,}02. \end{aligned}óó
Pergunta explícita: qual deve ser o diâmetro do novo tubo paralelo ao trecho 2 (mesmo comprimento L_2) para que a vazão total seja 20\% maior que a vazão atual?

Passo 2

Vamos escolher o método físico/matemático e expor as fórmulas que vamos usar (aula rápida, calma que eu te guio passo a passo). O escoamento é forçado pela diferença de nível entre reservatórios:
\Delta H = 30 - 15 = 15\\ \text{m}.
A perda de carga por atrito na tubulação é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • V é a velocidade média do fluido (m/s),
  • g é a gravidade =9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Relacionando velocidade com vazão:
V=\frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo V em h_f e simplificando (faço a dedução porque você pode precisar replicar isso na prova):
h_f = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{A}\right)^2 = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 = \underbrace{\frac{f\cdot 16}{2g\pi^2}}_{C}\; Q^2\;\frac{L}{D^5}.
Ou seja, definimos a constante
C=\frac{8f}{g\pi^2},
e então
h_f = C\,Q^2\,\frac{L}{D^5}.
Essa forma é muito prática quando L e D são fixos e queremos relacionar Q com h_f.

Passo 3

Primeiro calculamos a vazão atual \,Q_0. Como os trechos 1 e 2 estão em série, a perda total é
\Delta H = h_{f1}+h_{f2} = C Q_0^2\!\left(\frac{L_1}{D_1^5}+\frac{L_2}{D_2^5}\right).
Isolando Q_0:
Q_0=\sqrt{\frac{\Delta H}{C\left(\dfrac{L_1}{D_1^5}+\dfrac{L_2}{D_2^5}\right)}}.
Agora calculamos os termos numéricos (vou mostrar os passos numéricos para você replicar sem calculadora científica demais):
C=\frac{8f}{g\pi^2}=\frac{8\cdot 0{,}02}{9{,}81\cdot\pi^2}\approx 0{,}0016526.
Potências:
D_1^5=(0{,}4)^5=0{,}01024,\qquad D_2^5=(0{,}3)^5=0{,}00243.
\frac{L_1}{D_1^5}=\frac{1000}{0{,}01024}=97656{,}25,\qquad \frac{L_2}{D_2^5}=\frac{800}{0{,}00243}\approx 329218{,}11.
Somando:
\frac{L_1}{D_1^5}+\frac{L_2}{D_2^5}\approx 426874{,}36.
Logo
Q_0=\sqrt{\frac{15}{0{,}0016526\cdot 426874{,}36}} \approx 0{,}1458\\ \text{m}^3\!/\text{s}.
Resumo: a vazão atual é cerca de \,Q_0\approx 0{,}1458\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

Queremos aumentar a vazão em 20\%. Então a vazão desejada é
Q_{new}=1{,}2\;Q_0 \approx 1{,}2\cdot 0{,}1458 \approx 0{,}17496\\ \text{m}^3\!/\text{s}.

Passo 5

Modelagem com o novo tubo paralelo ao trecho 2: o trecho 1 permanece único e tem a vazão total Q_{new}. Depois de L_1 o fluxo se divide em dois ramos paralelos (o antigo com D_2 e o novo com D_3). Em ramos paralelos a perda de carga entre início e fim dos ramos é a mesma, chamemos essa perda \,h_{p}. Para cada ramo i valem:
h_p = C\,Q_i^2\,\frac{L_2}{D_i^5}.
Isolando Q_i,
Q_i=\sqrt{\frac{h_p}{C\,L_2}}\;D_i^{5/2}.
Como os dois ramos têm a mesma \,h_p, a soma das vazões dos ramos é a vazão total:
Q_{new} = \sqrt{\frac{h_p}{C\,L_2}}\left(D_2^{5/2}+D_3^{5/2}\right).
Além disso, \,h_p é o que sobra do salto de carga depois do trecho 1:
h_p = \Delta H - h_{f1},
com
h_{f1}=C\,Q_{new}^2\,\frac{L_1}{D_1^5}.
Agora podemos eliminar h_p. Substituindo h_p na expressão para Q_{new} e isolando D_3 obtemos:
D_2^{5/2}+D_3^{5/2} = \sqrt{\frac{C\,L_2\,Q_{new}^2}{\Delta H - C\,Q_{new}^2\,(L_1/D_1^5)}}.
Assim
D_3^{5/2} = \sqrt{\frac{C\,L_2\,Q_{new}^2}{\Delta H - C\,Q_{new}^2\,(L_1/D_1^5)}} \;-\; D_2^{5/2}.
Finalmente
D_3=\left[\,D_3^{5/2}\,\right]^{2/5}.
Essa é a fórmula prática que vamos calcular numericamente.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos passo a passo.
  1. Calcule K=C\,Q_{new}^2:
Q_{new}\approx 0{,}17496,\quad Q_{new}^2\approx 0{,}03061,
K=C\,Q_{new}^2\approx 0{,}0016526\cdot 0{,}03061 \approx 0{,}00005053.
  1. Perda no trecho 1 com Q_{new}:
\frac{L_1}{D_1^5}=97656{,}25\quad\Rightarrow\quad h_{f1}=K\cdot\frac{L_1}{D_1^5}\approx 0{,}00005053\cdot 97656{,}25\approx 4{,}9347\\ \text{m}.
  1. Perda disponível para os ramos paralelos:
h_p=\Delta H - h_{f1}\approx 15 - 4{,}9347 = 10{,}0653\\ \text{m}.
  1. Agora o lado direito da fórmula:
\sqrt{\frac{C\,L_2\,Q_{new}^2}{h_p}} = \sqrt{\frac{K\cdot L_2}{h_p}} \approx \sqrt{\frac{0{,}00005053\cdot 800}{10{,}0653}} \approx 0{,}06336.
  1. Calcule D_2^{5/2} (para D_2=0{,}3\\ \text{m}):
D_2^{5/2}=0{,}3^{2{,}5}=0{,}09\sqrt{0{,}3}\approx 0{,}049295.
  1. Assim
D_3^{5/2}\approx 0{,}06336-0{,}049295=0{,}014065.
  1. Finalmente
D_3=\left(0{,}014065\right)^{2/5}\approx 0{,}1817\\ \text{m}\approx 182\\ \text{mm}.

Passo 7

Interpretando: o novo tubo precisa ter diâmetro cerca de 0{,}182\\ \text{m} (aprox. 182\\ \text{mm}). É normal na hidráulica encontrar que o diâmetro requerido para um acréscimo de vazão não precisa ser tão grande quanto o ramo existente: a relação Q\propto D^{5/2} para mesma perda mostra que pequenos aumentos de área (ou um tubo adicional) podem proporcionar ganhos significativos na vazão total. Força aí — você já tem a fórmula geral e os passos para replicar este raciocínio na prova!

Resposta

\displaystyle D_3 \approx 0{,}182\\ \text{m}\\ =\\\ 182\\ \text{mm}

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