adaptado de BAPTISTA e LARA, 2010, pg. 102) Após 10 anos de operação, a vazão da adutora abaixo deixou de atender satisfatoriamente a demanda. É necessário aumentar a vazão em 20 \%. Como solução, pretende-se instalar um tubo paralelamente ao trecho 2. f=0,02. Considerando que o novo trecho possua o mesmo comprimento que o antigo, qual deve ser o diâmetro deste?
Passo 1
O enunciado pede: instalar um tubo paralelo ao trecho 2 (mesmo comprimento do antigo) de modo que a vazão total aumente 20\%. Queremos achar o diâmetro desse novo tubo.
Dados que peguei da figura (usarei esses valores):
Pergunta explícita: qual deve ser o diâmetro do novo tubo paralelo ao trecho 2 (mesmo comprimento L_2) para que a vazão total seja 20\% maior que a vazão atual?
Passo 2
Vamos escolher o método físico/matemático e expor as fórmulas que vamos usar (aula rápida, calma que eu te guio passo a passo). O escoamento é forçado pela diferença de nível entre reservatórios:
\Delta H = 30 - 15 = 15\\ \text{m}.
A perda de carga por atrito na tubulação é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
h_f é a perda de carga (m),
f é o fator de atrito (adimensional),
L é o comprimento da tubulação (m),
D é o diâmetro interno (m),
V é a velocidade média do fluido (m/s),
g é a gravidade =9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Relacionando velocidade com vazão:
V=\frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo V em h_f e simplificando (faço a dedução porque você pode precisar replicar isso na prova):
Modelagem com o novo tubo paralelo ao trecho 2: o trecho 1 permanece único e tem a vazão total Q_{new}. Depois de L_1 o fluxo se divide em dois ramos paralelos (o antigo com D_2 e o novo com D_3). Em ramos paralelos a perda de carga entre início e fim dos ramos é a mesma, chamemos essa perda \,h_{p}. Para cada ramo i valem:
h_p = C\,Q_i^2\,\frac{L_2}{D_i^5}.
Isolando Q_i,
Q_i=\sqrt{\frac{h_p}{C\,L_2}}\;D_i^{5/2}.
Como os dois ramos têm a mesma \,h_p, a soma das vazões dos ramos é a vazão total:
Interpretando: o novo tubo precisa ter diâmetro cerca de 0{,}182\\ \text{m} (aprox. 182\\ \text{mm}). É normal na hidráulica encontrar que o diâmetro requerido para um acréscimo de vazão não precisa ser tão grande quanto o ramo existente: a relação Q\propto D^{5/2} para mesma perda mostra que pequenos aumentos de área (ou um tubo adicional) podem proporcionar ganhos significativos na vazão total. Força aí — você já tem a fórmula geral e os passos para replicar este raciocínio na prova!