A adição de 100 g de um composto a 750 g de cicloexano abaixa o ponto de congelamento em 0,053^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a massa molar do composto. Para o cicloexano, K_{\mathrm{f}}=20,2 \mathrm{~K} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar cada coisa que tenho à mão para não nos perder):
  • Massa do soluto adicionada: 100\\ \mathrm{g}.
  • Massa do solvente (cicloexano): 750\\ \mathrm{g}.
  • Depressão do ponto de congelamento: \Delta T_{\mathrm{f}}=0,053^\circ\mathrm{C}. (Temperatura em graus Celsius e K têm a mesma escala para diferenças, então podemos usar 0,053\\ \mathrm{K} igualmente.)
  • Constante crioscópica do cicloexano: K_{\mathrm{f}}=20,2\\ \mathrm{K\\ kg\\ mol^{-1}}.
O que o problema pede:
  • Calcular a massa molar do composto (ou seja, a massa molar M em \mathrm{g\\ mol^{-1}}).
Observação importante (assunção feita): vou supor que o soluto não se dissocia nem associa no cicloexano (fator de van 't Hoff i=1). Se o soluto fosse um eletrólito forte (em solvente adequado) ou se dissociasse, teríamos que conhecer i.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A depressão do ponto de congelamento é uma propriedade coligativa: depende apenas do número de partículas de soluto por unidade de massa de solvente, não da natureza química do soluto (desde que não haja dissociação).
  • A relação entre depressão do ponto de congelamento \Delta T_{\mathrm{f}}, constante crioscópica K_{\mathrm{f}} e molalidade m é:
\Delta T_{\mathrm{f}} = K_{\mathrm{f}}\; m.
Aqui:
  • \Delta T_{\mathrm{f}} é a queda do ponto de congelamento em kelvin ( \mathrm{K}),
  • K_{\mathrm{f}} é a constante crioscópica do solvente em unidades de \mathrm{K\\ kg\\ mol^{-1}},
  • m é a molalidade do soluto, definida por
m = \frac{n_{\text{soluto}}}{\text{massa do solvente em kg}},
onde n_{\text{soluto}} é o número de mols do soluto.
  • Depois de achar n_{\text{soluto}}, a massa molar M do soluto é
M = \frac{\text{massa do soluto (g)}}{n_{\text{soluto}}\\ (\text{mol})},
com unidades finais \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 3

Calcular a molalidade m usando \Delta T_{\mathrm{f}} = K_{\mathrm{f}} m. Isolando m:
m = \frac{\Delta T_{\mathrm{f}}}{K_{\mathrm{f}}}.
Substituindo os números (atenção às unidades: \Delta T_{\mathrm{f}}=0,053\\ \mathrm{K}; K_{\mathrm{f}}=20,2\\ \mathrm{K\\ kg\\ mol^{-1}}):
m = \frac{0,053}{20,2}=0,002623762\ldots\\ \mathrm{mol\\ kg^{-1}}.
Arredondando razoavelmente (mantendo precisão para os passos seguintes):
m \approx 0,002624\\ \mathrm{mol\\ kg^{-1}}.

Passo 4

Calcular o número de mols do soluto n_{\text{soluto}} a partir da definição de molalidade:
n_{\text{soluto}} = m \times (\text{massa do solvente em kg}).
A massa do solvente é 750\\ \mathrm{g}=0,750\\ \mathrm{kg}. Logo
n_{\text{soluto}} = 0,002624\times 0,750 = 0,0019678\ldots\\ \mathrm{mol}.
Arredondando:
n_{\text{soluto}} \approx 0,0019678\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Calcular a massa molar M do soluto:
M = \frac{\text{massa do soluto (g)}}{n_{\text{soluto}}}.
Substituindo \text{massa do soluto}=100\\ \mathrm{g} e n_{\text{soluto}}\approx0,0019678\\ \mathrm{mol}:
M = \frac{100}{0,0019678}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} \approx 50\,820\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
É conveniente escrever em notação científica:
M \approx 5,08\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado indica uma massa molar muito grande, típica de um composto macromolecular ou polímero (não de uma pequena molécula). Se você esperava uma molécula pequena, vale checar se o soluto realmente não se dissocia/associa, se as massas dadas foram corretas, ou se foi usado o solvente/constante correta. Mas do ponto de vista do cálculo coligativo, procedemos corretamente passo a passo.

Resposta

M \approx 5,08\times10^{4}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}