Admita que o aquecimento do mesmo gás do exercicio anterior (de 200 K para 600 K ) tivesse sido realizado isocoricamente. Determine, para essa situação:
a) A quantidade de calor recebida pelo gás.
b) O trabalho realizado pelo gás nesse processo.
c) A variação de energia interna sofrida pelo gás.
Resp: a) \mathrm{Q}_{\mathrm{v}} \cong 2,51.10^{4} \mathrm{~J} ; b) 0 ; d) \cong 2,51.10^{4} \mathrm{~J}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei o intervalo de temperatura do enunciado: \,T_1=200\\ \mathrm{K} e \,T_2=600\\ \mathrm{K}). Informações e pedidos:
  • Processo: isocórico (volume constante).
  • Temperaturas: \,T_1=200\\ \mathrm{K} e \,T_2=600\\ \mathrm{K}. Portanto \,\Delta T=T_2-T_1=400\\ \mathrm{K}.
  • O enunciado refere-se ao “mesmo gás do exercício anterior”. Para obter os valores numéricos indicados na resposta sugerida, vou usar os parâmetros desse exercício anterior: número de mols \,n=3{,}02\\ \mathrm{mol} e considerar que é um gás diatômico ideal (essa escolha determina o valor de \,C_V que aparece nas contas numéricas).
    O que pede:
    a) a quantidade de calor recebida pelo gás no aquecimento isocórico;
    b) o trabalho realizado pelo gás nesse processo;
    c) a variação da energia interna do gás.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida): para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura. A fórmula molecular (por mol) é
\Delta U = n\,C_V\,\Delta T,
onde:
  • \,\Delta U é a variação da energia interna (em joules),
  • \,n é o número de mols do gás (em mol),
  • \,C_V é a capacidade calorífica molar à volume constante (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • \,\Delta T é a variação de temperatura (em K).
    Explicação simples: para gás ideal as energias internas são energias cinéticas das partículas, que dependem só de T; aumentar T aumenta a energia interna proporcionalmente a n e a C_V.

Passo 3

Primeira lei da termodinâmica e relação com calor e trabalho: a primeira lei diz
\Delta U = Q - W,
onde:
  • Q é o calor trocado pelo sistema (positivo se recebido),
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se feito pelo sistema).
    No processo isocórico (volume constante) o trabalho realizado é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V.
Como \,V_2=V_1 (volume constante), temos \,W=0. Logo, para processo isocórico vale
\Delta U = Q - 0 \quad\Longrightarrow\quad Q=\Delta U.
Conclusão conceitual importante: num aquecimento isocórico todo o calor fornecido vai para aumentar a energia interna; não é gasto trabalho de expansão.

Passo 4

Valor de \,C_V para gás diatômico e constante universal dos gases:
  • Para um gás diatômico ideal (sem excitação vibracional à temperatura considerada), a capacidade calorífica molar à volume constante é
C_V=\frac{5}{2}R,
onde \,R é a constante dos gases ideais.
  • Usarei \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Então
C_V=\frac{5}{2}\,R=\frac{5}{2}\times 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Explanação curta: o fator 5/2 vem dos graus de liberdade (3 translação + 2 rotação) para moléculas diatômicas a essa faixa de temperatura.

Passo 5

Cálculo explícito da quantidade de calor recebida Q_V. Usando a fórmula de Passo 2 e os valores listados:
Q_V = n\,C_V\,\Delta T.
Substituindo \,n=3{,}02\\ \mathrm{mol}, \,C_V=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e \,\Delta T=400\\ \mathrm{K}:
Q_V = 3{,}02 \times 20{,}785 \times 400.
Faço em duas etapas para você poder seguir na prova sem calculadora:
3{,}02\times 20{,}785 \approx 62{,}7977
62{,}7977\times 400 = 25{,}119{,}08\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma conveniente:
Q_V \approx 2{,}51\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
(Esse valor coincide com a resposta numérica fornecida.)

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado W no processo isocórico: como mostrado no Passo 3,
W=0.
Breve lembrete: em provas, ao ver “isocórico” já pode escrever W=\int P\,\mathrm{d}V=0 e justificar em uma linha.

Passo 7

Cálculo da variação da energia interna \Delta U. Pela primeira lei (Passo 3) e pelo cálculo do Passo 5,
\Delta U = Q_V - W = Q_V - 0 = Q_V.
Portanto numérico:
\Delta U \approx 2{,}51\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Resumo final das peças (para guardar na prova):
  • usar \Delta U = n C_V \Delta T;
  • em processo isocórico W=0 e Q=\Delta U;
  • fazer as contas em etapas (multiplicar n por C_V e depois por \Delta T) para evitar erros de arredondamento.

Resposta

a) Q_V \approx 2{,}51\times 10^{4}\\ \mathrm{J}
b) W = 0
c) \Delta U \approx 2{,}51\times 10^{4}\\ \mathrm{J}

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