Admita que o período de revolução da lua em torno da terra seja de 27 dias e que o raio da sua órbita vale 60R, sendo R o raio da Terra. Considere um satélite geoestacionário desses utilizados em telecomunicações. Em relação ao referido satélite, responda:
a) qual é o período de revolução?
b) qual é o raio da órbita?
a) qual é o período de revolução?
b) qual é o raio da órbita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre satélites geoestacionários usados em telecomunicações. A gente sabe que a Lua leva 27 dias para dar uma volta completa na Terra e que a distância da órbita dela é 60 vezes o raio da Terra ®. A pergunta é:
a) Qual é o período de revolução do satélite geoestacionário?
b) Qual é o raio da órbita desse satélite?
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de física sobre órbitas e gravitação. Vamos precisar entender como relacionar o período de revolução com o raio da órbita usando a Lei da Gravitação Universal de Newton e a segunda lei de Kepler.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um satélite geoestacionário. Esse tipo de satélite tem o período de revolução igual ao período de rotação da Terra, ou seja, ele leva 24 horas para completar uma órbita e, por isso, fica “parado” em relação a um ponto fixo na Terra.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional entre dois corpos é dada por:
Onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ r $ é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 4
Além disso, sabemos que para um corpo em órbita, a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Mas a velocidade $ v $ pode ser expressa em termos do período de revolução $ T $ e do raio da órbita $ r $ pela relação:
Passo 5
Igualando a força gravitacional à força centrípeta:
Simplificando a equação:
Passo 6
Agora, rearranjamos a equação para isolar o período $ T $:
Essa é a terceira lei de Kepler, que relaciona o período de revolução com o raio da órbita.
Passo 7
Para encontrar o raio da órbita de um satélite geoestacionário, usamos o fato de que o período $ T $ deve ser igual ao período de rotação da Terra, que é de 24 horas. Mas como a questão pede para nos basearmos nos dados da Lua, vamos primeiro entender a relação deles.
Sabemos que a Lua tem um período de 27 dias e está a uma distância de 60 R (sendo R o raio da Terra).
Passo 8
Vamos usar a comparação das duas situações para encontrar o raio e o período do satélite geoestacionário. Como o satélite geoestacionário tem $ T = 24 $ horas, vamos calcular o raio $ r $ usando a terceira lei de Kepler.
Passo 9
Rearranjando a terceira lei de Kepler para $ r $:
Mas para não precisar lidar diretamente com a constante $ G $ e a massa $ M $ da Terra, podemos usar a relação fornecida pela Lua para simplificar.
Passo 10
Sabemos que para a Lua:
E para o satélite:
Dividindo uma equação pela outra:
Passo 11
Dado que $ T_{Lua} = 27 $ dias e $ r_{Lua} = 60 R $, queremos encontrar $ T_{sat} $ e $ r_{sat} $ para que $ T_{sat} = 1 $ dia (24 horas).
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo para $ r_{sat} $:
Portanto:
Resposta
a) O período de revolução do satélite geoestacionário é de 24 horas.
b) O raio da órbita desse satélite é aproximadamente $ 6,67 R $, onde $ R $ é o raio da Terra.