Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} e pede o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}. As informações dadas são:
\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}
Ou, escrevendo componentes:
\boldsymbol{A}=(3,\,7,\,-1),\qquad \boldsymbol{B}=(1,\,-1,\,0).

Passo 2

O que é o produto vetorial? Vou explicar de um jeito direto e prático. Para dois vetores \boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z) e \boldsymbol{B}=(B_x,B_y,B_z), o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é um vetor perpendicular a \boldsymbol{A} e a \boldsymbol{B}; seus componentes são dados pela fórmula
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=\bigl(A_yB_z-A_zB_y\bigr)\boldsymbol{i}+\bigl(A_zB_x-A_xB_z\bigr)\boldsymbol{j}+\bigl(A_xB_y-A_yB_x\bigr)\boldsymbol{k}.
Aqui cada letra significa:
  • A_x,A_y,A_z: componentes de \boldsymbol{A} nas direções \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}.
  • B_x,B_y,B_z: componentes de \boldsymbol{B}.
    A regra é só aplicar essas fórmulas para cada componente. Outra forma equivalente é usar o determinante com \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}:
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix},
mas o resultado numérico é o mesmo que a fórmula acima.

Passo 3

Agora vamos identificar as componentes que vamos usar na fórmula:
A_x=3,\quad A_y=7,\quad A_z=-1,
B_x=1,\quad B_y=-1,\quad B_z=0.

Passo 4

Calculemos passo a passo cada componente usando a fórmula componente a componente.
Componente na direção \boldsymbol{i}:
A_yB_z-A_zB_y = 7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1).
Fazendo as multiplicações:
7\cdot 0 = 0,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,
então
\text{componente } \boldsymbol{i}=0-1=-1.

Passo 5

Componente na direção \boldsymbol{j}:
A_zB_x-A_xB_z = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 0.
Fazendo as multiplicações:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 3\cdot 0 = 0,
então
\text{componente } \boldsymbol{j}=-1-0=-1.

Passo 6

Componente na direção \boldsymbol{k}:
A_xB_y-A_yB_x = 3\cdot(-1) - 7\cdot 1.
Fazendo as multiplicações:
3\cdot(-1)=-3,\qquad 7\cdot 1=7,
então
\text{componente } \boldsymbol{k}=-3-7=-10.

Passo 7

Vamos fazer uma checagem rápida: um produto vetorial deve ser ortogonal a ambos os vetores originais. Verificamos calculando os produtos escalares.
Cheque \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}):
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=3\cdot(-1)+7\cdot(-1)+(-1)\cdot(-10)=-3-7+10=0.
Cheque \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}):
\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+0\cdot(-10)=-1+1+0=0.
Os dois são zero, portanto o resultado está consistente (o vetor é perpendicular a \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}).

Resposta

-\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-10\boldsymbol{k}

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