Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}.

Passo 1

Dados fornecidos:
\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}.
O que se pede: determinar \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}.
Componentes extraídas dos vetores:
A_x=3,\quad A_y=7,\quad A_z=-1,
B_x=1,\quad B_y=-1,\quad B_z=0.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é obtido multiplicando-se componente a componente e somando os resultados. Em forma matemática:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes do vetor \boldsymbol{A} nas direções \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k} e B_x,B_y,B_z são as componentes de \boldsymbol{B}. A interpretação geométrica (apenas para contexto): também vale
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\|\boldsymbol{A}\|\|\boldsymbol{B}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores — mas aqui usamos a fórmula por componentes, que é direta e prática na prova.

Passo 3

Aplicando a fórmula por componentes com os valores identificados no Passo 1:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=3\cdot 1 + 7\cdot(-1) + (-1)\cdot 0.

Passo 4

Calculando termo a termo:
3\cdot 1 = 3,
7\cdot(-1) = -7,
(-1)\cdot 0 = 0.
Somando:
3 + (-7) + 0 = -4.

Resposta

-4