Uma adutora de PVC ( \mathrm{C}=140 ) de 150 mm de diâmetro e 1000 m de comprimento deve fornecer 25 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água. Determinar a perda de carga (hf) necessária.

Dados do Exercício

  • Material: PVC ( \mathrm{C}=140 )
  • Comprimento (\mathrm{L})=1000 \mathrm{~m}
  • Diâmetro (\mathrm{D})=150 \mathrm{~mm}=0,150 \mathrm{~m}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar a perda de carga h_f (em metros de coluna de água) na adutora.
  • Dados fornecidos:
    • Material: PVC com coeficiente de Hazen–Williams C=140.
    • Comprimento: L=1000\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro interno: D=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Vazão: Q=25\\ \mathrm{L/s}=0,025\\ \mathrm{m^3/s}.
Observação: aqui vamos usar a fórmula empírica de Hazen–Williams, apropriada quando o enunciado dá o coeficiente C do material (PVC). A resolução segue sem necessidade de outros dados.

Passo 2

Apresentando a fórmula de Hazen–Williams e explicando cada símbolo.
A forma prática em unidades SI da fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por unidade de comprimento (com L em metros, D em metros e Q em \mathrm{m^3/s}) é:
h_f = 10{,}67 \; L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, D^{4{,}87}}.
Explicação das variáveis:
  • h_f: perda de carga (m).
  • L: comprimento do trecho (m).
  • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).
  • C: coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), depende do material e do estado da tubulação.
  • D: diâmetro interno da tubulação (m).
  • Os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 e a constante 10{,}67 são empíricos (fixados na forma desta expressão).
Dica prática: sempre deixe todas as unidades consistentes (aqui usamos SI: m, m^3/s).

Passo 3

Converter e anotar os valores numéricos (todos em TeX):
L = 1000\\ \mathrm{m},\qquad Q = 0{,}025\\ \mathrm{m^3/s},\qquad C = 140,\qquad D = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
Agora vamos calcular passo a passo as potências que aparecem na fórmula: Q^{1{,}852}, C^{1{,}852} e D^{4{,}87}. Para isso uso cálculo de potências (pode-se fazer com calculadora científica ou usando logaritmos à mão). Vou mostrar uma forma numérica direta (com arredondamentos controlados).

Passo 4

Cálculo de Q^{1{,}852} (vazão elevada ao expoente):
Q^{1{,}852} = (0{,}025)^{1{,}852}.
Usando logaritmos (ou calculadora), obtém-se aproximadamente:
Q^{1{,}852} \approx 0{,}001075.
Breve explicação didática: para calcular a^b sem memória de potência direta, pode-se usar \log_{10}(a^b)=b\log_{10}a, calcular o log, multiplicar por b e depois tirar a potência de 10.

Passo 5

Cálculo de C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = (140)^{1{,}852} \approx 9448.
Explicação: foi usado o mesmo procedimento (logaritmo/ calculadora). Esse número é adimensional.

Passo 6

Cálculo de D^{4{,}87}:
D^{4{,}87} = (0{,}150)^{4{,}87} \approx 9{,}656\times10^{-5}.
Observação: como D<1, a potência dá um número pequeno (ordem 10^{-4}), o que aumenta o efeito do diâmetro na perda de carga (pequena redução do diâmetro aumenta muito h_f).

Passo 7

Montando o denominador e a fração dentro da fórmula:
Primeiro o produto do denominador:
C^{1{,}852}\,D^{4{,}87} \approx 9448 \times 9{,}656\times10^{-5} \approx 0{,}9121.
Agora a razão:
\dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}} \approx \dfrac{0{,}001075}{0{,}9121} \approx 0{,}0011793.

Passo 8

Aplicando a fórmula completa para h_f:
h_f = 10{,}67 \; L \; \dfrac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, D^{4{,}87}}
Substituindo L=1000\\ \mathrm{m} e a razão calculada:
h_f \approx 10{,}67 \times 1000 \times 0{,}0011793 \approx 12{,}58\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: a perda de carga ao longo de 1000\\ \mathrm{m} para essa vazão em tubo de 150\\ \mathrm{mm} de PVC é da ordem de uma dezena de metros — faz sentido físico: tubos pequenos e vazões razoáveis geram perdas apreciáveis.

Passo 9

Conselho para a prova e checagem rápida:
  • Se pedirem velocidade média v, lembre que v = Q / A com A=\pi D^2/4. Aqui A=\pi(0{,}150)^2/4\approx 0{,}01767\\ \mathrm{m^2} e v\approx 0{,}025/0{,}01767\approx 1{,}41\\ \mathrm{m/s} (só para conferir ordem de grandeza).
  • A perda calculada \sim 12{,}6\\ \mathrm{m} em 1000\\ \mathrm{m} corresponde a uma carga específica de 12{,}6/1000 = 0{,}0126\\ \mathrm{m/m} ou 1,26% em termos de perda por comprimento, outra forma útil de interpretar.
Força aí — deu trabalho, mas é um cálculo direto: fórmula certa, unidades consistentes e atenção aos expoentes.

Resposta

h_f \approx 12{,}6\\ \mathrm{m}

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