Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o diâmetro do tubo é 75[mm] e a velocidade média do escoamento é 5[ms]. Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 15[m] abaixo da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão?

Passo 1

Vamos entender a questão: temos água escoando num tubo horizontal com diâmetro de 75 mm e velocidade média de 5 m/s. Agora, a saída do tubo está 15 metros abaixo da entrada, e a gente precisa descobrir qual a pressão na entrada para manter essa mesma vazão. Vamos usar conceitos de hidrodinâmica, especialmente a equação de Bernoulli, e vamos precisar saber sobre pressão, velocidade do fluxo e alteração de altura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. O diâmetro $ D $ é 75 mm, que é igual a 0,075 metros. A área $ A $ de um círculo é dada por:
D
Vamos calcular isso:
A

Passo 3

Agora, vamos determinar a vazão $ Q $ do fluxo, que é a quantidade de água que passa pelo tubo por segundo. A vazão é dada por:
Q
Onde $ v = 5 \ \frac{m}{s} $. Então:
Q = A times v

Passo 4

Vamos aplicar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes do fluxo. A equação é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como a vazão $ Q $ é a mesma nos dois pontos, as velocidades $ v_1 $ e $ v_2 $ são iguais. Portanto, os termos de velocidade se cancelam.

Passo 5

A diferença agora está na altura. A saída está 15 metros abaixo da entrada, então:
h2 = h1 - 15 m
Vamos considerar $ h_1 = 0 $ (nível de referência), então:
h1 = 0

Passo 6

Na saída do tubo, a água está exposta à pressão atmosférica $ P_{atm} $. Queremos encontrar a pressão na entrada $ P_1 $.

Passo 7

Reorganizando a equação de Bernoulli para encontrar $ P_1 $:
P1
Onde $ h = 15 \ m $, $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 \ kg/m^3 $) e $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 \ m/s^2 $).

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
P1 = Patm + 1000 times 9,81 times 15
Calculando:
P1 = Patm + 147150 Pa
Isso significa que a pressão na entrada precisa ser a pressão atmosférica mais 147150 Pascal para manter a mesma vazão.

Resposta

A pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão é $ P_1 = P_{atm} + 1,47 \times 10^{5} \ Pa $.

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