Água jorra sobre uma placa com uma força de 150 kgf . Esta água é proveniente de um sistema no qual está acoplado um elemento realizador de trabalho. Um manômetro, situado antes do elemento, registra uma pressão de 2 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e os diâmetros das tubulações antes e depois do elemento são 30 e 15 cm , respectivamente. Pergunta-se: o elemento realizador de trabalho é uma bomba ou uma turbina? Qual a sua potência em HP?
DADOS: \rho=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \eta=1,1 \mathrm{kgf}=9,81 \mathrm{~N}, \mathrm{~g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, 1 \mathrm{HP}=745 watts

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar se o elemento realizador de trabalho é uma bomba ou uma turbina; (2) calcular a potência do elemento em HP.
Dados fornecidos (retirei os diâmetros da figura):
  • Força exercida pela água sobre a placa: F=150\\ \mathrm{kgf}.
  • Pressão registrada antes do elemento (manômetro): p_1=2\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. (interpreto como pressão manométrica, ou seja, acima da atmosfera)
  • Diâmetro antes do elemento: D_1=30\\ \mathrm{cm}. (tirado da figura)
  • Diâmetro depois do elemento: D_2=15\\ \mathrm{cm}. (tirado da figura)
  • Densidade da água: \rho=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}.
  • Gravidade não é necessária para os cálculos de momento e energia aqui (alturas desprezadas).
  • Conversão de potência: 1\\ \mathrm{HP}=745\\ \mathrm{W}.
Assumo também que a seção de saída (após o elemento) está à pressão atmosférica (ou seja, p_2=0 em pressão manométrica), pois o jato sai para a atmosfera antes de atingir a placa.

Passo 2

Calcular as áreas das seções (transformando diâmetros para metros):
D_1=0{,}30\\ \mathrm{m},\qquad D_2=0{,}15\\ \mathrm{m}
A_1=\frac{\pi D_1^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}30)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0225\approx 0{,}0706858\\ \mathrm{m^{2}}
A_2=\frac{\pi D_2^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}15)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}0176715\\ \mathrm{m^{2}}

Passo 3

Determinar a velocidade na saída v_2 usando a conservação do momento (teorema do impulso) para jato que incide e é detido na placa. Explicação didática: quando um jato de massa por tempo \dot{m} com velocidade v é parado por uma placa, a variação de quantidade de movimento por unidade de tempo é \dot{m}v, que é igual à força exercida sobre a placa. Como \dot{m}=\rho Q=\rho A_2 v_2, obtemos a relação
F=\dot{m}v_2=\rho A_2 v_2^{2}.
Primeiro converto a força para newtons:
F=150\\ \mathrm{kgf}=150\cdot 9{,}81\\ \mathrm{N}=1471{,}5\\ \mathrm{N}.
Agora resolvo para v_2:
v_2=\sqrt{\frac{F}{\rho A_2}}=\sqrt{\frac{1471{,}5}{1000\cdot 0{,}0176715}} =\sqrt{83{,}3060}\approx 9{,}1269\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular vazão volumétrica Q e vazão mássica \dot{m}. Explicação: a vazão volumétrica é Q=A_2 v_2 e a vazão mássica é \dot{m}=\rho Q.
Q=A_2 v_2=0{,}0176715\cdot 9{,}1269\approx 0{,}161336\\ \mathrm{m^{3}/s}.
\dot{m}=\rho Q=1000\cdot 0{,}161336\approx 161{,}336\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Calcular velocidade na entrada v_1 pela equação da continuidade. Explicação: para escoamento incompressível em regime permanente, Q=A_1 v_1 = A_2 v_2.
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}161336}{0{,}0706858}\approx 2{,}28397\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Determinar a potência extraída (ou fornecida) pelo elemento usando a equação de energia entre as seções 1 e 2 (sem trocas de calor e desprezando perdas de elevação). Explicação didática da fórmula: a potência trocada entre o fluido e o eixo do elemento (taxa de trabalho) é dada por
\dot{W}=\dot{m}\left(\frac{p_1-p_2}{\rho}+\frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2}\right),
onde \dot{W}>0 significa potência extraída do fluido (o fluido fornece trabalho ao eixo — comportamento de turbina) e \dot{W}<0 significaria potência fornecida ao fluido (bomba). Aqui usamos p_1 em Pascal e \rho em \mathrm{kg/m^{3}}. Converto p_1:
p_1=2\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=2\cdot 9{,}81\cdot 10^{4}\\ \mathrm{Pa}=196200\\ \mathrm{Pa}.
Como tomei p_2 como pressão atmosférica (referência zero de pressão manométrica), p_2=0. Agora calculo os termos:
\frac{p_1-p_2}{\rho}=\frac{196200}{1000}=196{,}2\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
\frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2}=\frac{(2{,}28397)^{2}-(9{,}1269)^{2}}{2}=\frac{5{,}2175-83{,}3060}{2}=-39{,}0443\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Soma específica:
\frac{p_1-p_2}{\rho}+\frac{v_1^{2}-v_2^{2}}{2}=196{,}2-39{,}0443=157{,}1557\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{W}=\dot{m}\cdot 157{,}1557=161{,}336\cdot 157{,}1557\approx 25373{,}6\\ \mathrm{W}.
O sinal é positivo, ou seja, \dot{W}>0: isso significa que o fluido fornece energia ao eixo do elemento — o elemento é uma turbina.

Passo 7

Converter a potência para HP:
\text{Potência}=\frac{25373{,}6\\ \mathrm{W}}{745\\ \mathrm{W/HP}}\approx 34{,}054\\ \mathrm{HP}\approx 34{,}05\\ \mathrm{HP}.ê

Resposta

Turbina
\;34{,}05\\ \mathrm{HP}

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