Água líquida, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, enche completamente um recipiente rígido. Se calor for adicionado à água até que a sua temperatura atinja 50^{\circ} \mathrm{C}, qual é a pressão final atingida? O valor médio de \beta entre 25 e 50^{\circ} \mathrm{C} é de 36,2 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1} .0 valor de \kappa, a 1 bar e 50^{\circ} \mathrm{C}, é de 4,42 \times 10^{-5} bar ^{-1} e pode ser considerado independente de P . O volume específico da água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C} é igual a 1,0030 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~g}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a pressão final da água quando a temperatura, em um recipiente rígido que estava completamente cheio de água líquida a 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}, é aumentada até 50^\circ\mathrm{C}.\n
Dados fornecidos:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C},\quad T_2 = 50^\circ\mathrm{C}
P_1 = 1\\ \mathrm{bar}
\text{valor médio de }\beta \text{ entre }25^\circ\mathrm{C}\text{ e }50^\circ\mathrm{C}:\\ \beta = 36,2\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}é
\kappa \text{ a }1\\ \mathrm{bar}\text{ e }50^\circ\mathrm{C}:\\ \kappa = 4,42\times10^{-5}\\ \mathrm{bar}^{-1}\\ (\text{pode ser considerado independente de }P)
\text{volume específico da água a }25^\circ\mathrm{C}:\\ v_1 = 1,0030\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{g}^{-1}íá
Observação: o enunciado fornece v_1, mas para este problema a relação entre variação de volume relativa, expansão térmica e compressibilidade é suficiente; veremos isso adiante.

Passo 2

Vamos entender as grandezas físicas e a fórmula que relaciona variação de volume com variação de temperatura e pressão.\n
Definições:
\beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
\kappa=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T
Explicação simples: \beta é o coeficiente de expansão volumétrica — ele diz fração do volume que muda por grau quando a pressão é mantida constante. \kappa é a compressibilidade isotérmica — ele diz a fração do volume que muda por unidade de pressão quando a temperatura é mantida constante. Ambos são positivos para líquidos comuns (pois aumento de T aumenta V e aumento de P diminui V).\n
Para variações pequenas, a diferencial total relativa do volume é:
\frac{dV}{V}=\beta\,dT-\kappa\,dP
Aqui dV é a variação do volume absoluto, V é o volume atual; os sinais têm o seguinte sentido: +\beta\,dT porque aquecer tende a aumentar V, e -\kappa\,dP porque aumentar P tende a reduzir V.

Passo 3

Aplicamos a condição do recipiente rígido: o volume do líquido não pode mudar macroscopicamente, ou seja \Delta V=0 (ou dV=0 na aproximação diferencial). Substituindo na equação diferencial temos:
0=\beta\,dT-\kappa\,dP
Rearranjando para dP:
\kappa\,dP=\beta\,dT
dP=\frac{\beta}{\kappa}\,dT
Interpretando: a pressão precisa aumentar de forma que a contração devido ao \Delta P compense exatamente a expansão térmica. Se \beta variar com T, podemos usar o valor médio dado pelo enunciado entre T_1 e T_2. Assim, para uma variação finita aproximamos por:
\Delta P=\frac{\beta_{\text{média}}}{\kappa}\,\Delta Té
onde \Delta T=T_2-T_1.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos. Primeiro calculemos \Delta T:
\Delta T = 50^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=25\\ \mathrm{K}
Usando \beta=36,2\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1} e \kappa=4,42\times10^{-5}\\ \mathrm{bar}^{-1}, obtemos:
\frac{\beta}{\kappa}=\frac{36,2\times10^{-5}}{4,42\times10^{-5}}=\frac{36,2}{4,42}\approx 8,191
Logo:
\Delta P=\left(8,191\right)\times 25\\ \mathrm{bar}\approx 204,775\\ \mathrm{bar}

Passo 5

A pressão final é a pressão inicial mais o aumento calculado:
P_{\text{final}}=P_1+\Delta P=1\\ \mathrm{bar}+204,775\\ \mathrm{bar}\approx 205,775\\ \mathrm{bar}
Arredondando de forma adequada (os dados têm cerca de 3 algarismos significativos), podemos reportar:
P_{\text{final}}\approx 205,8\\ \mathrm{bar}

Resposta

P_{\text{final}}\approx 205,8\\ \mathrm{bar}

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