Ex. 123 - Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(rrr -1 & 2 & 1 x & 0 & x^2 3 & 0 & -1 )(rrrr 2 & 1 & 1 & -4 4 & 5 & 3 & -2 0 & 2 & -2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 )(rrrr a & b & c & 1 b & 0 & 0 & 2 c & 0 & 0 & 3 d & -2 & -3 & 4 )(rrrr 1 & 3 & 2 & -3 2 & 1 & 3 / 2 & 5 0 & 3 & 3 / 2 & 4 -1 & 1 & 0 & -7 )

Passo 1

O exercício pede para calcular os determinantes de quatro matrizes: uma 3times3 e três 4times4. Para isso usaremos as propriedades de determinante: expansão por menores (cofatores) e, quando conveniente, simplificação por zeros em linhas ou colunas.

Passo 2

Determinante da matriz 3times3
A = -1 & 2 & 1 x & 0 & x^2 3 & 0 & -1
Expandimos ao longo da segunda coluna, onde há dois zeros:
det A = (-1)^1+2,(2), detx & x^23 & -1 = -2l(xcdot(-1)-3,x^2r) = -2(-x-3x^2) =2x+6x^2

Passo 3

Determinante da segunda matriz 4times4
B = 2 & 1 & 1 & -4 4 & 5 & 3 & -2 0 & 2 & -2 & 3 1 & -1 & 1 & -2
Expandimos pela primeira coluna ( b31=0):
det B =2,C11+4,C21+1,C41,
onde
C11=+det5&3&-22&-2&3-1&1&-2=8, C21=-det1&1&-42&-2&3-1&1&-2=2, C41=-det1&1&-45&3&-22&-2&3=50
Logo
det B =2cdot8 +4cdot2 -1cdot50 =16+8-50 = -26

Passo 4

Determinante da terceira matriz
Expandimos pela segunda coluna (só aparecem em e em ):
Calcula-se
Assim

Passo 5

Determinante da quarta matriz 4times4
D = 1 & 3 & 2 & -3 2 & 1 & tfrac32 & 5 0 & 3 & tfrac32 & 4 -1 & 1 & 0 & -7
Expandimos pela primeira coluna ( d31=0):
det D =1cdot C11+2cdot C21+(-1)cdot C41,
com os menores 3times3
C11=det 1&tfrac32&53&tfrac32&41&0&-7 =tfrac392, C21=-det 3&2&-33&tfrac32&41&0&-7 =23, C41=-det 3&2&-31&tfrac32&53&tfrac32&4 =tfrac532
Logo
det D =tfrac392-2cdot23+tfrac532 =tfrac922-46 =46-46 =0

Resposta

det A = 2x + 6x^2, det B = -26, det C = -l(3b - 2cr)^2, det D = 0