Ex. 241 - Há uma classe de matrizes tais que
, com
diagonal. Que matrizes são estas?
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar todas as matrizes
(de tamanho
) que satisfazem
onde
é uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos usar o fato de que
é a matriz de Gram cujos elementos são produtos internos entre colunas de
.
Passo 2
Seja
a
-ésima coluna de
. O elemento
de
é
Como
é diagonal, para
temos
ou seja, colunas distintas de
são ortogonais.
Passo 3
Nos casos
, a equação
diz
sendo
. Portanto cada coluna
tem norma
.
Conclusão: as matrizes que satisfazem
são exatamente aquelas cujas colunas formam um sistema de vetores mutuamente ortogonais, com comprimento de cada vetor dado por
.
Passo 4
Em particular, se
, então
para todo
e as colunas são ortonormais. Nessa situação:
- Se
, é uma matriz ortogonal no sentido usual ( e ). - Se
, é uma matriz com colunas ortonormais (muitas vezes chamada de matriz semi-ortogonal).
Resposta
São exatamente as matrizes cujas colunas são mutuamente ortogonais, com norma de cada coluna igual a
. Em especial, se
, as colunas são ortonormais, e
torna-se uma matriz ortogonal (ou semi-ortogonal, se não for quadrada).