Ex. 241 - Há uma classe de matrizes tais que A^top A=D, com D diagonal. Que matrizes são estas?

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar todas as matrizes A (de tamanho mtimes n) que satisfazem
A^topA = D
onde D é uma matriz diagonal. Para resolver isso, vamos usar o fato de que A^topA é a matriz de Gram cujos elementos são produtos internos entre colunas de A.

Passo 2

Seja a^(j) a j-ésima coluna de A. O elemento (i,j) de A^topA é
(A^topA)ij = sumk=1^m Ak i,Ak j = llang<= a^(i),,a^(j)rrang<=
Como A^topA=D é diagonal, para ineq j temos
(A^topA)ij=0 Longrightarrow llang<= a^(i),,a^(j)rrang<==0,
ou seja, colunas distintas de A são ortogonais.

Passo 3

Nos casos i=j, a equação (A^topA)ii = Dii diz
llang<= a^(i),,a^(i)rrang<= = lVert a^(i)rVert^2 = Dii,
sendo Dii>=0. Portanto cada coluna a^(i) tem norma raizDii.
Conclusão: as matrizes que satisfazem A^topA=D são exatamente aquelas cujas colunas formam um sistema de vetores mutuamente ortogonais, com comprimento de cada vetor dado por raizDii.

Passo 4

Em particular, se D=In, então lVert a^(i)rVert=1 para todo i e as colunas são ortonormais. Nessa situação:
  • Se m=n, A é uma matriz ortogonal no sentido usual ( A^topA=I e AA^top=I).
  • Se m>n, A é uma matriz com colunas ortonormais (muitas vezes chamada de matriz semi-ortogonal).

Resposta

São exatamente as matrizes cujas colunas são mutuamente ortogonais, com norma de cada coluna igual a raizDii. Em especial, se D=I, as colunas são ortonormais, e A torna-se uma matriz ortogonal (ou semi-ortogonal, se não for quadrada).