Achar o perímetro do triângulo A B C de vértices A=(1,-2,5), B=(4,-6,17) e C=(4,14,4).

Passo 1

O enunciado pede o perímetro do triângulo cujos vértices são
A=(1,-2,5),\quad B=(4,-6,17),\quad C=(4,14,4).
O conteúdo aqui é a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, dada pela fórmula
d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2},
e o perímetro é a soma das três distâncias AB, BC e CA.

Passo 2

Calcular a distância AB. O vetor \overrightarrow{AB} tem componentes
(4-1,\;-6-(-2),\;17-5)=(3,-4,12).
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AB=\sqrt{3^2+(-4)^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.

Passo 3

Calcular a distância AC. O vetor \overrightarrow{AC} é
(4-1,\;14-(-2),\;4-5)=(3,16,-1).
Logo
AC=\sqrt{3^2+16^2+(-1)^2}=\sqrt{9+256+1}=\sqrt{266}.

Passo 4

Calcular a distância BC. O vetor \overrightarrow{BC} é
(4-4,\;14-(-6),\;4-17)=(0,20,-13).
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BC=\sqrt{0^2+20^2+(-13)^2}=\sqrt{0+400+169}=\sqrt{569}.

Passo 5

O perímetro P é a soma das três arestas:
P = AB + BC + CA = 13 + \sqrt{569} + \sqrt{266}.

Resposta

P = 13 + \sqrt{266} + \sqrt{569}.