Ache os inversos dos seguintes números complexos, na forma normal
© 2+3 i1+i+1+i

Passo 1

Neste exercício de números complexos, queremos achar o inverso (recíproco) de z = 2+3i1+i + 1 + i. Para isso, vamos usar operações básicas com números complexos: divisão (multiplicação por conjugado), soma e depois a definição de inverso multiplicativo.

Passo 2

Calculamos 2+3i1+i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+i:
2+3i1+i cdot 1-i1-i = (2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)
No numerador temos:
(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i,
e no denominador:
(1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2
Logo:
2+3i1+i = 5+i2 = 52 + 12i

Passo 3

Somando 1 + i obtemos
z = 52 + 12i + 1 + i = 72 + 32i

Passo 4

Para achar o inverso z^-1 = 1z, escrevemos
z^-1 = 1tfrac72 + tfrac32i = 27+3i
e multiplicamos por 7-3i7-3i:
z^-1 = 2(7-3i)(7+3i)(7-3i) = 14 - 6i49 + 9 = 14 - 6i58 = 7 - 3i29

Resposta

7 - 3i29