Ache o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x}{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{5x}{\tan x}
Isso envolve o conteúdo de limites, em particular uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} para a forma trigonométrica \tan x. Podemos resolver usando a Regra de L’Hôpital ou o fato de que \tan x\sim x quando x\to0.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando x\to0 temos
5x\to0 \quad\text{e}\quad \tan x\to0,
logo é \tfrac{0}{0} e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador 5x é 5.
– Derivada do denominador \tan x é \operatorname{sec}^2 x.
Portanto o limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{5}{\operatorname{sec}^2 x}.

Passo 4

Como \operatorname{sec}^2 x=1/\cos^2 x, ao fazermos x\to0 temos \cos0=1, logo
\lim_{x\to0}\frac{5}{\operatorname{sec}^2 x} =5\cdot\lim_{x\to0}\cos^2 x =5\cdot1 =5.

Resposta

5