Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
2 Se S=z^{3} e \frac{d z}{d t}=-2 quando z=3, determine \frac{d S}{d t}.

Passo 1

O enunciado diz que S e z são funções de t e que
S = z^{3}
Além disso, sabemos que
\frac{dz}{dt} = -2
no instante em que z=3. O que se pede é \frac{dS}{dt}. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar uma composição de funções em relação a t.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em
S = z^{3},
temos
\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(z^{3}\bigr) = 3\,z^{2}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 3

Basta agora substituir z=3 e \frac{dz}{dt}=-2 na expressão acima:
\frac{dS}{dt} = 3 \times (3)^{2} \times (-2) = 3 \times 9 \times (-2) = -54.

Resposta

\frac{dS}{dt} = -54.