Calcular a integral.
\int \frac{1}{x \sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{x\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx
O conteúdo principal é a substituição trigonométrica para expressar x em função de um ângulo e usar a integral de \csc.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\sin\theta, \quad dx = 2\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 - x^{2}} = 2\cos\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{x\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx = \int \frac{2\cos\theta\,d\theta}{\bigl(2\sin\theta\bigr)\bigl(2\cos\theta\bigr)} = \frac{1}{2}\int \frac{d\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{2}\int \csc\theta\,d\theta.
Sabendo que
\int \csc\theta\,d\theta = \ln\bigl|\tan\frac{\theta}{2}\bigr| + C,
temos
\frac{1}{2}\int \csc\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\tan\frac{\theta}{2}\bigr| + C.

Passo 4

Agora voltamos a x. Como \sin\theta = \tfrac{x}{2} e \cos\theta = \tfrac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2}, usamos
\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\tfrac{x}{2}}{1 + \tfrac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2}} = \frac{x}{2 + \sqrt{4 - x^{2}}}.
Logo a integral fica
\frac{1}{2}\,\ln\biggl|\frac{x}{2 + \sqrt{4 - x^{2}}}\biggr| + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{x\,\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx = \frac{1}{2}\,\ln\biggl|\frac{x}{2 + \sqrt{4 - x^{2}}}\biggr| + C.}