(a) Calcule a derivada da função
, onde o símbolo
.
denota o maior inteiro menor ou igual a
.
(b) Calcule
e
. O que significam estes limites?
(c) Qual o domínio de
.
(b) Calcule
(c) Qual o domínio de
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
isto é, o maior inteiro menor ou igual a
. Pede-se
(a) determinar ,
(b) calcular
e
e interpretar esses limites,
(c) indicar o domínio de .
Vamos usar definição de derivada e propriedades de função degrau (constante em intervalos).
(a) determinar
(b) calcular
(c) indicar o domínio de
Vamos usar definição de derivada e propriedades de função degrau (constante em intervalos).
Passo 2
Para
que não é inteiro, existe um
tal que
e então em todo esse intervalo
é constante. Pela definição de derivada,
Logo, para
temos
.
Em a função tem descontinuidade de salto:
Em
O quociente de diferenças pela esquerda é
enquanto pela direita dá
Como as duas derivadas laterais não coincidem (e a da esquerda é infinita),
não é diferenciável em
.
Passo 3
Em particular para
temos
. Então
Esses limites são as derivadas laterais direita e esquerda em
.
A interpretação é que a derivada pela direita em vale
, mas pela esquerda não é finita (vai a
), logo a derivada em
não existe.
Juntando tudo, é diferenciável exatamente nos pontos onde não há salto, ou seja, em todos os
que não sejam inteiros.
A interpretação é que a derivada pela direita em
Juntando tudo,
Resposta
(a)
para
e
não existe para
.
(b)
São as derivadas laterais em , que não coincidem, mostrando que
não existe em
.
(c) .
(b)
São as derivadas laterais em
(c) .