Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int (x(2 x^{2}+3)^{10}) d x;
u=2 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int x\,(2x^{2}+3)^{10}\,\mathrm{d}x
usando a substituição u=2x^{2}+3. O conteúdo é integração por substituição, em que vamos trocar a variável x por u para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos \displaystyle u = 2x^{2}+3.
Derivando em relação a x, obtemos \displaystyle \mathrm{d}u = 4x\,\mathrm{d}x,
o que implica \displaystyle x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Na integral original, substituímos 2x^{2}+3=u e x\,\mathrm{d}x=\tfrac{1}{4}\mathrm{d}u. Assim:
\int x\,(2x^{2}+3)^{10}\,\mathrm{d}x = \int u^{10}\,\Bigl(\tfrac{1}{4}\mathrm{d}u\Bigr) = \frac{1}{4}\int u^{10}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{10}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{11}}{11} + C.
Logo,
\frac{1}{4}\int u^{10}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{4}\,\frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{44} + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u=2x^{2}+3, a resposta final é
\frac{(2x^{2}+3)^{11}}{44} + C.

Resposta

\frac{(2x^{2}+3)^{11}}{44} + C