Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P_{3} ? Justifique suas respostas.
\left\{2, x^{2}, x, 2 x+3\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se
\{2,\;x^2,\;x,\;2x+3\}
é gerador de P_{3}, o espaço dos polinômios de grau <=3.
Para ser gerador, todo polinômio genérico
\displaystyle p(x)=\alpha_3x^3+\alpha_2x^2+\alpha_1x+\alpha_0
deveria ser escrito como combinação linear dos quatro vetores dados.

Passo 2

Seja
q(x)=a\cdot 2\;+\;b\cdot x^2\;+\;c\cdot x\;+\;d\cdot(2x+3).
Ao agrupar termos, obtém-se
q(x)=b\,x^2+\bigl(c+2d\bigr)\,x+\bigl(2a+3d\bigr).
Note que o coeficiente de x^3 em q(x) é sempre zero, independente de a,b,c,d. Logo não há como produzir o monômio x^3 a partir dessa combinação. Isso impede que o conjunto gere todo P_{3}.

Resposta

O conjunto \{2,\;x^2,\;x,\;2x+3\} não gera P_{3}, pois não é possível obter o termo x^3.