5.3.1 Considere x=[ll1+i & 2-3 i]^T e calcule x^T x e x^* x. Qual dessas duas expressões você escolheria para representar o quadrado de uma norma? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá o vetor complexo
x = 1 + i [6pt] 2 - 3i
e pede para calcular x^Tx (produto usando só a transposta) e x^*x (produto usando a transposta conjugada). Em seguida, devemos decidir qual dessas expressões representa o quadrado de uma norma. O conteúdo aqui é a noção de produto interno em espaços complexos e a norma induzida.]

Passo 2

Para calcular x^Tx usamos a definição sem conjugação de componentes, ou seja
x^Tx = (1+i)^2 + (2-3i)^2
Agora elevamos ao quadrado cada termo:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i, (2-3i)^2 = 4 - 12i + 9,i^2 = -5 - 12i
Somando, obtemos
x^Tx = 2i + (-5 - 12i) = -5 - 10i

Passo 3

Para calcular x^*x usamos a transposta conjugada, o que dá a soma dos módulos ao quadrado:
x^*x = |1+i|^2 + |2-3i|^2
Calculamos cada módulo ao quadrado:
|1+i|^2 = (1+i)(1+i) = (1+i)(1-i) = 2,
|2-3i|^2 = (2-3i)(2-3i) = (2-3i)(2+3i) = 4 + 9 = 13
Logo
x^*x = 2 + 13 = 15

Passo 4

O quadrado de uma norma deve ser sempre um número real e não-negativo, além de obedecer às propriedades de um produto interno hermitiano. A expressão x^*x satisfaz essas condições (é real e >=0), enquanto x^Tx pode ser complexo. Por isso escolhemos
x^*x
para representar o quadrado da norma de x.

Resposta

x^Tx = -5 - 10i, x^*x = 15
Escolhe-se x^*x como quadrado da norma, pois é real não-negativo.