5.3.1 Considere e calcule e . Qual dessas duas expressões você escolheria para representar o quadrado de uma norma? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá o vetor complexo
e pede para calcular (produto usando só a transposta) e (produto usando a transposta conjugada). Em seguida, devemos decidir qual dessas expressões representa o quadrado de uma norma. O conteúdo aqui é a noção de produto interno em espaços complexos e a norma induzida.]
Passo 2
Para calcular usamos a definição sem conjugação de componentes, ou seja
Agora elevamos ao quadrado cada termo:
Somando, obtemos
Passo 3
Para calcular usamos a transposta conjugada, o que dá a soma dos módulos ao quadrado:
O quadrado de uma norma deve ser sempre um número real e não-negativo, além de obedecer às propriedades de um produto interno hermitiano. A expressão x^*x satisfaz essas condições (é real e >=0), enquanto x^Tx pode ser complexo. Por isso escolhemos
x^*x
para representar o quadrado da norma de x.
Resposta
x^Tx = -5 - 10i, x^*x = 15
Escolhe-se x^*x como quadrado da norma, pois é real não-negativo.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Thelmo de Araújo - Álgebra Linear, Teoria e Aplicação - 1ª Edição - Capítulo 5.5.3 - Ex. 5.3.1