Considere a matriz
A=[cccc a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & cdots & an n ]
onde a11 a22 cdots an n neq 0. Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz diagonal
A = a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & ann
com ;a11a22cdots annneq 0. Precisamos mostrar que A é invertível e encontrar A^-1. Usaremos o determinante para a existência da inversa e a definição de matriz inversa para calculá-la.

Passo 2

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como A é diagonal, vale
det(A) = a11,a22cdots ann
Pelo enunciado esse produto não é zero, logo det(A)neq 0 e A é invertível.

Passo 3

Para achar a inversa, procuramos uma matriz B = [bij] tal que
A,B = In
Multiplicando A por B vemos que, para ineq j, a linha i de A tem zeros em todas as colunas de B exceto na coluna i, e para i=j a equação impõe
aii,bii = 1
Portanto bij=0 se ineq j e
bii = 1aii
Isso mostra que a inversa é também diagonal, com entradas recíprocas.

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = dfrac1a11 & 0 & cdots & 0 0 & dfrac1a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dfrac1ann