com ;a11a22cdots annneq 0. Precisamos mostrar que A é invertível e encontrar A^-1. Usaremos o determinante para a existência da inversa e a definição de matriz inversa para calculá-la.
Passo 2
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como A é diagonal, vale
det(A) = a11,a22cdots ann
Pelo enunciado esse produto não é zero, logo det(A)neq 0 e A é invertível.
Passo 3
Para achar a inversa, procuramos uma matriz B = [bij] tal que
A,B = In
Multiplicando A por B vemos que, para ineq j, a linha i de A tem zeros em todas as colunas de B exceto na coluna i, e para i=j a equação impõe
aii,bii = 1
Portanto bij=0 se ineq j e
bii = 1aii
Isso mostra que a inversa é também diagonal, com entradas recíprocas.