Considere as operações +e · definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que é um anel comutativo com unidade.
Z times Z
(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)
(a, b) cdot(c, d)=(a c, b d)
(Z times Z,+, cdot)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
;R=ZtimesZ
com as operações
(a,b)+(c,d)=(a+c,;b+d),
(a,b)cdot(c,d)=(a,c,;b,d)
Precisamos mostrar que (R,+,cdot) satisfaz os axiomas de um anel comutativo com unidade, ou seja:
  1. (R,+) é um grupo abeliano.
  2. (R,cdot) é um semigrupo comutativo que possui elemento neutro.
  3. cdot é distributivo em relação a +.

Passo 2

Mostramos que (R,+) é um grupo abeliano. Para quaisquer (a,b),(c,d),(e,f)in R:
((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,;b+d+f)
(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+c+e,;b+d+f),
logo a adição é associativa. O elemento neutro é (0,0) pois
(a,b)+(0,0)=(a+0,;b+0)=(a,b)
O inverso de (a,b) é ( -a,-b) porque
(a,b)+(-a,-b)=(a-a,;b-b)=(0,0)
E a adição é comutativa pois
(a,b)+(c,d)=(a+c,;b+d)=(c+a,;d+b)=(c,d)+(a,b)

Passo 3

Agora (R,cdot) é um semigrupo comutativo com unidade. Para associatividade, sejam (a,b),(c,d),(e,f)in R. Então
((a,b)cdot(c,d))cdot(e,f)=(ac,;bd)cdot(e,f)=(ac,e,;bd,f)
e
(a,b)cdot((c,d)cdot(e,f))=(a,b)cdot(cd,;df)=(a,cd,;b,df)
Como a multiplicação em Z é associativa, ac,e=a,cd e bd,f=b,df, logo cdot é associativa em R.
O elemento neutro multiplicativo é (1,1) pois
(a,b)cdot(1,1)=(acdot1,;bcdot1)=(a,b)
E a comutatividade decorre de
(a,b)cdot(c,d)=(ac,;bd)=(ca,;db)=(c,d)cdot(a,b)

Passo 4

Verificamos a distributividade. Para (a,b),(c,d),(e,f)in R:
(a,b)cdotl((c,d)+(e,f)r) = (a,b)cdot(c+e,;d+f) = l(a(c+e),;b(d+f)r)
por outro lado
(a,b)cdot(c,d)+(a,b)cdot(e,f) = (ac,;bd)+(ae,;bf) = (ac+ae,;bd+bf)
Na reta inteira vale a(c+e)=ac+ae e b(d+f)=bd+bf, logo
(a,b)cdotl((c,d)+(e,f)r) =(ac+ae,;bd+bf) =(a,b)cdot(c,d)+(a,b)cdot(e,f)
A distributividade à direita segue por argumento análogo.

Resposta

Portanto, ZtimesZ com adição (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e multiplicação (a,b)cdot(c,d)=(ac,bd) é um anel comutativo que possui unidade (1,1).