Considere as operações +e · definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que é um anel comutativo com unidade.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
Precisamos mostrar que
satisfaz os axiomas de um anel comutativo com unidade, ou seja:
-
é um grupo abeliano. -
é um semigrupo comutativo que possui elemento neutro. -
é distributivo em relação a .
Passo 2
Mostramos que
é um grupo abeliano. Para quaisquer
:
logo a adição é associativa. O elemento neutro é
pois
O inverso de
é
porque
E a adição é comutativa pois
Passo 3
Agora
é um semigrupo comutativo com unidade. Para associatividade, sejam
. Então
e
Como a multiplicação em
é associativa,
e
, logo
é associativa em
.
O elemento neutro multiplicativo é
pois
E a comutatividade decorre de
Passo 4
Verificamos a distributividade. Para
:
por outro lado
Na reta inteira vale
e
, logo
A distributividade à direita segue por argumento análogo.
Resposta
Portanto,
com adição
e multiplicação
é um anel comutativo que possui unidade
.