Dada a transformação linear
, entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno, seja
o maior autovalor do operador
. Prove que
é o maior dos números
, onde u é qualquer vetor unitário em
. Escrevese
e diz-se que
é a norma
espectral da transformação linear
. Seja
a norma induzida pelo produto interno
, definido no Exercício 11.17. Se
são os autovalores de
, tem-se
Conclua que
.
.
espectral da transformação linear
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
entre espaços com produto interno e define
como seu adjunto. Sabemos que
é auto-adjunto positivo e que seus autovalores são
com
o maior. Precisamos mostrar que
(norma espectral) e, usando a norma de Frobenius , concluir as desigualdades
.
Passo 2
Como
é auto-adjunto e positivo, existe base ortonormal
de autovetores tais que
com
e definimos
. Tomamos um vetor unitário genérico
Passo 3
Calculamos
Assim
para todo
, ou seja
.
Passo 4
Escolhendo agora
, temos
logo
. Daí
Passo 5
Pela definição de norma de Frobenius,
Como
, segue
Passo 6
Por outro lado, cada
, então
logo