Dada a transformação linear A: E F, entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno, seja sigma^2 o maior autovalor do operador A^* A: E E(sigma >= 0). Prove que sigma é o maior dos números |A u|, onde u é qualquer vetor unitário em E. Escrevese |A|=sigma=max |A u| ; u in E,|u|=1 e diz-se que |A| é a norma
espectral da transformação linear A. Seja |A|=raiztr(A^* A) a norma induzida pelo produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^* B), definido no Exercício 11.17. Se sigma1^2, ldots, sigman^2 são os autovalores de A^* A, tem-se
|A|=raizsigma1^2+cdots+sigman^2 e |A|=max sigmai
Conclua que |A| <=|A| <= raizn. |A|.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear entre espaços com produto interno e define como seu adjunto. Sabemos que é auto-adjunto positivo e que seus autovalores são com o maior. Precisamos mostrar que (norma espectral) e, usando a norma de Frobenius , concluir as desigualdades .

Passo 2

Como A^*A é auto-adjunto e positivo, existe base ortonormal eii=1^n de autovetores tais que
A^*A,ei=sigmai^2,ei,
com sigma1>=cdots>=sigman>=0 e definimos sigma=sigma1. Tomamos um vetor unitário genérico
u=sumi=1^n ci ei, sumi|ci|^2=1

Passo 3

Calculamos
|A u|^2=lang<= Au,Aurang<==lang<= A^*A,u,urang<= =sumi=1^nsigmai^2,|ci|^2<=sigma^2sumi=1^n|ci|^2=sigma^2
Assim |Au|<=sigma para todo |u|=1, ou seja |A|<=sigma.

Passo 4

Escolhendo agora u=e1, temos
|Ae1|^2=lang<= A^*A,e1,e1rang<==sigma^2
logo |Ae1|=sigma. Daí
|A|=max|u|=1|Au|=sigma

Passo 5

Pela definição de norma de Frobenius,
Como , segue

Passo 6

Por outro lado, cada sigmai^2<=sigma^2, então
|A|^2=sumi=1^nsigmai^2<= n,sigma^2
logo
|A|<=raiz n,sigma=raiz n,|A|

Resposta

|A|<=|A|<=raiz n,|A|.

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